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mais le carré de cet élément est r* rfv* -4- rfr' ; on aura donc, en égalant ces deux expressions ,

j ^ dv

On déterminera ainsi dv^ au moyen de dv lorsque s sera connu. Si Ton prend pour plan fixe le plan de lorbite de m à une

époque donnée, s et -j- seront visiblement de Tordre des forces

perturbatrices; en négligeant donc les carrés et les produits de ces forces, on aura v = v^. Dans la théorie des planètes et des comètes, on peut négliger jces carrés et ces produits, à l'exception de quelques termes de cet. ordre que des circonstances particulières rendent sensibles et qu'il sera facile de déterminer au moyen des équatioi^ (5) et (T). Ces dernières équations prennent une £orme plus simple lorsqu'on n'a égard qu'à la première puissance des forces perturbatrices. En effet, on peut alors considérer 5 r et Sv comme des parties de r et de r dues à ces forces; BR, S.rjR' sont ce que deviennent R et rR lorsque Ton y substitue, au lieu des coordonnées des corps, leurs valeurs relatives au mouvement elliptique; nous pouvons les désigner par ces dernières quantités assujetties à cette condition. L'équation [S) devient ainsi

o = -j^ -f- ^1__ -f-2./dJÎ-+-r/{.

Le plan fixe des x et des j étant supposé celui de l'orbite de m, à une époque donnée, zsera de l'ordre des forces perturbatrices,

et puisque Ton néglige le carré de ces forces, on pourra négliger la quantité z . (-j-)- De plus, le rayon r ne diffère de sa projection que de quantités de Tordre z*. L'angle que ce rayon fait avec Taxe des x ne diffère de sa projection que de quantités du même ordre; cet angle peut donc être supposé égal à r, et Ton a, aux quantités près du même ordre,

x=^T. COS. V , j= r. sin. v ;

d'où Ton tire

\dx ) J \dy ) \dr )

et, par conséquent r.JR = r. f-j— |. Il est facile de s'assurer, par

]a différentiation , que, si l'on néglige le carré de la force perturbatrice, l'équation différentielle précédente donnera, en vertu des deux premières des équations (P) ,

^./je^f.J2./dfi-f-r(g)[-j./a;e^f.J2./dfi+r.(ff)j

\ (xdy — ydx\

Dans le second membre de cette équation, les coordonnées peu-

iT . . 1 xdy — ydx

vent se rapporter au mouvement elliptique, ce qui donne — ^^-rj —

constant et égal, par le n** 19 à \/(x.a(i — -7*), ae étant l'excentricité de l'orbite de m.' Si l'on substitue dans l'expression de rhr, au lieu de x et de j, leurs valeurs r. cos. r, et r.sin.r, et au lieu

(j* // «y <y // 'jr

de — ^^-T^ — » la quantité \/(xa.(i— e'); enfin, si l'on observe que, par le n"" 20, (i=zn*a\ on aura

a xos. V. fndt.r. sin. VA 2. fdR-^-r.l-T—jl

'— a.sin.v./hrff.r.cos.r.la./djR-l-r.l-r— ) M r=L^ i^iiil; (A)

Téquation [T) donne, en l'intégrant, et en négligeant le carré des forces perturbatrices,

2r.d.Sr-{-dr.Sr Sa

jJfndtAR^^Jndt.rM)

8v = ^^ îl— î^— ^-^i^: (Y)

cette expression donnera facilement les perturbations du mouvement de m en longitude, lorsque celles du rayon vecteur seront déterminées.

Il nous reste à déterminer les perturbations du mouvement en latitude. Pour cela nous reprendrons la troisième des équations (P) : en l'intégrant comme nous avons intégré l'équation (5), et faisant z = r8s, nous aurons

a.cos.v.fndt.r.sm.vA-j—\--a.sin.v.fndt.r.cos.v.l-^j

hs= . -(Z)

8s est la latitude de m au-dessus du plan de son orbite primitive: si l'on veut rapporter le mouvement de m sur un plan peu incliné à cette orbite, en nommant 5 sa latitude lorsqu'il est supposé ne point quitter le plan de cette orbite, s -h 8 s sera, à trèspeu près, la latitude de m au-dessus du plan proposé.

47. Les formules [X), [Y) et (Z) ont l'avantage de présenter sous une forme finie les perturbations, ce qui est très-utile dans la théorie des comètes, dans laquelle ces perturbations ne peuvent être déterminées que par des quadratures. Mais le peu d'excentricité et d'inclinaison respective des orbites des planètes permet de développer leurs perturbations en séries convergentes de sinus et de» cosinus d'angles croissant proportionnellement au temps, et d'en former des tables qui peuvent servir pour un temps indéfini. Alors, au lieu des expressions précédentes de 5r et de 5 5, il est plus commode de faire usage des équations difiFérentielles qui dé-