PREMIERE PARTIE, LIVRE DEUXIEME

d'ailleurs, il est aisé de voir, par la nature de R, que (-t-| est

de l'ordre des inclinaisons des orbites : en né^igeant donc les carrés et les produits de ces inclinaisons, les expressions précédentes de df et de df deviendront

jj- j /dR\ j, ( . /dR\ COS.V /dR\)

,« , /dR\ , , ( /dR\ sin.t) /dR\)

^f= '^''\d;;)^'^^'^''''\Tr)--7-\d^)\'^

or on a

dx=d.[r. COS. v); dy=d. (r.sin.r); cdt=xdy — ydx=r*dv, on aura donc

(//*= — jrfr.sin.i;-f-2 rrft;.cos.î;}.|^| — r^dv.sm.v.lj-r\,

df'= \dr.cos.v — 2rrfv.sîn.î;}.[-T-|-f-r*rfî;.cos.t;,(^|,

Ces équations seront plus exactes si Ton prend pour plan fixe des œ et des j, celui de l'orbite de m, à une époque donnée, car alors c, c" et s sont de Tordre des forces perturbatrices; ainsi les quantités que Ion néglige sont de l'ordre des carrés des forces perturbatrices multipliées par le carré de l'inclinaison respective des deux orbites de m et de m.

Les valeurs de r, dr, dv, l-j-) ^ ( j-)» ^s*^^* visiblement les

mêmes, quelle que soit la position du point d'où Ton compte les longitudes; mais en diminuant v d'un angle droit, sin.t; se change dans — COS. V, et cos. v se change dans sin. v; l'expression de dfse change par conséquent dans celle de df; d'où il suit qu*ayant développé la valeur de df dans une suite de sinus et de cosinus d'angles croissants proportionnellement au temps, on aura la valeur de df, en diminuant, dans la première, les angles e, e', ^, ^, et ô' d'un angle droit

Les quantités f et /' déterminent la position du périhélie et l'excentricité de l'orbite; en effet, on a vu, dans le n° 64, que

tang. i=^,

/ étant la longitude du périhélie rapportée au plan fixe. Lorsque ce plan est celui de l'orbite primitive de m, on a, aux quantités près de l'ordre des carrés des forces perturbatrices multipliées par le carré de l'inclinaison respective des orbites, 1=^, tsr étant la longitude du périhélie sur l'orbite; on aura donc alors

ce qui donne

f tang. -cT = y^ ,

sm. tîT = •^ , COS. tar — *^

\/7+n VfW'

On a ensuite, par le n" 64,

ainsi, c et c étant, dans la supposition précédente, de l'ordre des forces perturbatrices , y" est du même ordre, et en négligeant les

termes du carré de ces forces, on aura (x e = \Jf* +f\ Si Ton

substitue, au lieu de \JJ^+f\ sa valeur (xe, dans les expressions de sin. ^, et de cos. ©, on aura

(xe . sin. "CT =/', (x^ . COS. ^ =^J:

ces deux équations détermineront l'excentricité et la position du périhélie, et l'on en tirera facilement

f**. ode=fdf-^fdf, f.' e'. d^ =fdf-fdj\

En prenant pour le plan des x et des j celui de l'orbite de m,