PREMIÈRE PARTIE, LIVRE PREMIER

Considérons présentement l'équilibre d'un système de points m , m, Tït'j etc. sollicités par des forces quelconques, et réagissant les uns sur les autres. Soit/la distance de m à rn ;f la -distance de m à ra^if la distance de m à rn, etc. soit encore p, l'action réciproque de m sur m; p celle de m sur m; p" celle de m sur m", etc. Enfin, soient mS, mS\ m S", etc. les forces qui sollicitent m, m', m\ etc. et s, s, s\ etc. les droites prises depuis leurs origines jusqu'aux corps m, m, m", etc. : cela posé, le point m peut être considéré comme étant parfaitement libre, et en équilibre en vertu . de la force mS, et des forces que lui communiquent les corps m, m\ etc. mais s'il était assujetti à se mouvoir sur une surface ou sur une courbe, il faudrait ajouter à ces forces la réaction de la surface ou de la courbe. Soit donc Ss, la variation de s, et désignons par <î,/la variation de/, prise en regardant rrî comme fixe. Désignons pareillement par S^ f, la variation de/', prise en regardant wl comme fixe, etc. Soient R, B! les réactions de deux surfaces qui, par leur intersection , forment la courbe sur laquelle le point m est assujetti à se mouvoir; et Sr, Sr les variations des directions de ces dernières forces. L'équation [d] du n** 3 donnera :

o = mS.hs-{-p.h^J'-{-'p.h^J'-\- etc. -f-iî.Sr-t-iî'.Sr.

Pareillement rn peut être considéré comme un point parfaitement libre, en équilibre en vertu de la force m! 5Vdes actions des corps m, m", etc. et des réactions des surfaces sur lesquelles il peut être assujetti à se mouvoir, réactions que nous désignerons par K et K". Soit donc S s la variation de 5'; ^,,/la variation de y* prise en regardant m comme fixe; S^f" la variation de/*' prise en regardant ra comme fixe , etc. Soient de plus Sr, Sr les variations des directions de K, R"; l'équilibre de rn donnera

o=m'5'.eJ5'-hp.5^,/-t-/.5,/-h etc. -^R^Sr^'^R^hr". On formera de semblables équations relatives à l'équilibre de m\

m'", etc. en les ajoutant ensuite, et observant que

V=if-^Kf> 5/'=^, /+§„/, etc.

âf, SJ\ etc. étant les variations totales (ïef,f, etc. on aura

équation dans laquelle les variations des coordonnées des di£férents corps du système sont entièrement arbitraires. On doit observer ici qu au lieu de mS.Ss, on peut, en vertu de Téquation (a) du n° 2, substituer la somme des produits de toutes les forces partielles dont m est animé, parles variations de leurs directions respectives. Il en est de même des produits mS'.Ss, rnS\8s', etc.

Si les corps m, m, m, etc. sont liés entre eux d'une manière invariable, les 6îs\jàiicesfyf,f', etc. sont constantes, et Ton a pour la condition de la liaison des parties du système, hJ=o^ Sy=o, Sy^=o, etc. Les variations des coordonnées étant arbitraires dans l'équation (A), on peut les assujettir à satisfaire à ces dernières équations , et alors les forces p, p', f, etc. qui dépendent de l'action réciproque des corps du système disparaissent de cette équation; on peut même en faire disparaître les termes Rhr, R8r, etc. en assujettissant les variations des coordonnées à satisfaire aux équations des surfaces sur lesquelles les corps sont forcés de se mouvoir; l'équation [k) devient ainsi

o=z^.mS.8s; (/)

d'où il suit que, dans le cas de l'équilibre, la somme des variations des produits des forces, par les éléments de leurs directions, est nulle, de quelque manière que l'on fasse varier la position du système, pourvu que les conditions de la liaison de ses parties soient observées.

Ce théorème, auquel nous sommes parvenus dans la supposition particulière d'un système de corps liés entre eux d'une manière invariable, est général, quelles que soient les conditions de