PREMIÈRE PARTIE, LIVRE PREMIER

la liaison des parties du système. Pour le démontrer, il suffit de faire voir qu en assujettissant les variations des coordonnées à ces conditions, on a dans Téquation (^),

o = S.p.S/-t-Si?.Sr;

or il est clair que 8r, 8 r, etc. sont nuls en vertu de ces conditions. Il ne s*agit donc que de prouver que Ion a o=S.p.Sjr, en assujettissant aux mêmes conditions les variations des coordonnées.

Concevons le système animé des seides forces p, p, p\ etc. et supposons que les corps soient forcés de se mouvoir sur des courbes qu ils puissent décrire en vertu des mêmes conditions. Alors ces forces se décomposeront en d'autres , les unes q, q, q\ etc. dirigées suivant les droites^) /^/^ etc. et qui se détruiront mutuellement sans produire d'action sur les courbes décrites; les autres Ty T, T\ etc. perpendiculaires aux courbes décrites; les autres enfin , tangentielles à ces courbes , et en vertu desquelles le système sera mû. Mais il est aisé de voir que ces dernières forces doivent être nulles; car le système étant supposé leur obéir librement, elles ne peuvent produire ni pression sur les courbes décrites, ni réaction des corps les uns sur les autres; elles ne peuvent donc pas faire équilibre aux forces — p, — p\ — p\ etc. q, q\ q\ etc. Ty T, etc. il faut donc qu elles soient nulles, et que le système soit en équilibre en vertu des seides forces — p, — p', —f, etc. 9> 9V 7"^ etc. r, T, etc. Soient hi, Si', etc. les variations des directions des forces T, T, etc. on aura, en vertu de l'équation [k),

o=S. (7— p).S/-t-S.r.Si;

mais le système étant supposé en équilibre en vertu des seules forces 7, q\ etc. sans qu'il en résulte aucune action sur les courbes décrites, l'équation \^) donne encore 0=21.7.5/; partant

o=S./>.S/— S.r.Si.

Si Ton assujettit les variations des coordonnées à satisfaire aux courbes décrites, on a 5( = o, 8i= o, etc. on a donc alors

et comme les courbes décrites sont elles-mêmes arbitraires et ne sont assujetties qu'aux conditions de la liaison des parties du système, Téquation précédente a lieu, pourvu que ces conditions soient remplies, et alors l'équation [k) se change dans l'équation (/). Cette équation est la traduction analytique du principe suivant, connu sous le nom de principe des vitesses virtuelles.

« Si l'on fait varier infiniment peu la position d'un système de " corps, en l'assujettissant aux conditions qu'il doit remplir, la i< somme des forces qui le sollicitent, multipliées chacune par Tes- « pace que le corps auquel elle est appliquée parcourt suivant sa «direction, doit être égale à zéro, dans le cas de l'équilibre du « système. »

Non-seulement ce principe a lieu dans le cas de l'équilibre, mais il en assure l'existence. Supposons, en effet, que l'équation (/) ayant lieu, les points m, m, etc. prennent les vitesses r, v\ etc. en vertu des forces m5, mS\ etc. qui leur sont appliquées. Ce système serait en équilibre, en vertu de ces forces et de celles-ci — mr, — mv\ etc. désignons par S r, 5 v, etc. les variations des directions de ces nouvelles forces; on aura, par le principe des vitesses virtuelles,

o =:S . mS.hs — S .m.rSr;

mais on a , par la supposition , o=S.m5.55; on a donc 0=^^ .m.vhv. Les variations hv, hvy etc. devant être assujetties aux conditions du système, on peut les supposer égales à vdty vdty etc. et alors on a o=S .mr*, équation qui donne v=^o^ t''=o, etc. c'est-à-dire que le système est en équilibre, en vertu des seules forces m 5, m S', etc.

Les conditions de la liaison des parties d'un système peuvent toujours se réduire à des équations entre les coordonnées de ses

difiFérents corps. Soient u=Oy u' = o, w'' = o, etc. ces diverses équations; on pourra, par le n° 3, ajouter à l'équation (/) la fonction X S « -h V5 u -+- etc. ou S . X . 5 m; X, X', etc. étant des fonctions indéterminées des coordonnées des corps; cette équation deviendra ainsi

o=S .mS.Bs-h^ .X.Sm;

dans ce cas, les variations de toutes les coordonnées seront arbitraires, et Ton pourra égaler leurs coefficients à zéro, ce qui donnera autant d'équations au moyen desquelles on déterminera les fonctions X, X', etc. Si Ion compare ensuite cette équation à l'équation (iSr) , on aura

S.X.5n=:S.p.5/-f-S.R.Sr;

d'où il sera facile de conclure les actions réciproques des corps m, m, etc. et les pressions — R, — R, etc. qu'ils exercent contre les surfaces auxquelles ils sont assujettis.

15. Si tous les corps du système sont fixement attachés ensemble, sa position sera déterminée par celle de trois de ses points qui ne sont pas en ligne droite; la position de chacun de ces points dépend de trois coordonnées, ce qui produit neuf indéterminées; mais les distances mutuelles des trois points étant données et invariables, on peut, à leur moyen, réduire ces indéterminées à six autres qui, substituées dans l'équation (Z), introduiront six variations arbitraires; en égalant à zéro leurs coefficients, on aura six équations qui renfermeront toutes les conditions de l'équilibre du système; développons ces équations.

Pour cela, soient x,y, z, les coordonnées de m; x, y\ z\ celles de m; œ", y\ z, celles de m, etc. on aura

f = v /K-^)'+(/-j)'-f-(/-^)% f'=s/ (a;^:r')'-^ (/-y )'-f- [z-ïy ,

etc.

Si Ton suppose

8x=èx=8x= etc.

8y=8y = ^y'= etc.

Sz=:5z =5/= etc.

on aura hf=o^ 8f'=o^ hf"=Oj etc. les conditions à satisfaire seront donc remplies, et Ton aura, en vertu de réquation (Z) ,

o=Jl.mS.U^h o = S.m5Yy^V o=S.m5.(^j; (m)

on aura ainsi trois des six équations qui renferment les conditions de l'équilibre du système. Les seconds membres de ces équations sont les sommes des forces du système, décomposées parallèlement aux trois axes des x, des y et des z; chacune de ces sommes doit donc être nulle dans le cas de l'équilibre.

Les équations 8f=Oj 8f'=Oj 8f"=:0y etc. seront encore satisfaites, si l'on suppose z, z, z\ etc. invariables, et si l'on fait

5a:=j.S'CT, ^y= — oj.S'CT;

S x=y. S'CT, 5y= — rr'. 5 tar ;

etc.

â'CT étant une variation quelconque. En substituant ces valeurs dans l'équation ( / ) , on aura

Il est visible que l'on peut changer dans cette équation , soit les coordonnées x, x\ x\ etc. soit les coordonnées y, j, y\ etc. en z, z\ z\ etc. ce qui donnera deux autres équations qui, réunies à la précédente, formeront le système suivant d'équations,

S.m5.j;K.(|i)-rc.(|i)j,

s.™5.j..(ii)-x.(ii)j,| {»)