Si l'on fait

Sa:'zzz=.Xi^-f-S^;, Sa;''=i^-f-S^;, etc. •

ày=— ^^'m b=— ^5/.» fy = — hSx.,etc.

la variation hx disparaît encore des expressions de 3/, hf.

SJ ", etc. en supposant donc le système libre, les conditioDs rela- (ives à la liaison des parties du système n influant que sur les variations S/, hj\ etc. la variation hx en est indépendante, et elle est arbitraire; ainsi , en substituant dans Téquation (P) du n"* 18, au lieu de hx\ hx\ etc. hy, hy, hy\ etc. leurs valeurs précédentes, on doit égaler séparément à zéro le coeflicient de hx^ ce qui donne

o:=S.7?i. ^ —jj^ -T-S.m.(rj — Qx) ;

d'oii Ton tire, en intégrant par rapport au temps t,

c^=^.m. ^ — —7^ — - Â-lL.j.m.yPy — Qx) .dt;

c étant une constante arbitraire.

On peut, dans cette intégrale, changer les coordonnées y, y\ etc. dans ;:, Zy etc. pourvu que Ton y substitue, au lieu des forces Q, Q', etc. parallèles à l'axe des j, les forces i?, /î', etc. parallèles à Taxe des r, ce qui donne

c étant une nouvelle arbitraire. On aura de la même manière

c étant une troisième arbitraire.

Supposons que les corps du système ne soient soumis qu*à leur action mutuelle, et à une force dirigée vers l'origine des coordonnées. Si l'on nomme, comme ci-dessus, f l'action réciproque de m et de m', on aura, en vertu de cette action seule,

o=m. (Py — Qa')-f-m'. (PV — Qx)\ ainsi l'action mutuelle des corps disparaît de l'intégrale finie