PREMIÈRE PARTIE, LIVRE PREMIER

tion du corps; or cette distance est évidemment égale au sinus de Tangie que Taxe réel de rotation fait avec Taxe des z\ angle

dont le cosinus est — ; on aura donc i/n«^(^«|,.*

pour la vitesse angulaire de rotation.

On voit par là que quel que soit le mouvement de rotation d'un corps autour d'un point fixe, ou considéré comme tel, ce mouvement ne peut être qu'un mouvement de rotation autour d'un axe fixe pendant un instant, mais qui peut varier d'un instant à l'autre. La position de cet axe, par rapport aux trois axes principaux, et la vitesse angulaire de rotation dépendent des variables p, (\y r, dont la détermination est très-importante dans ces recherches, et qui, exprimant des quantités indépendantes de la situation du plan des x et des y, sont elles-mêmes indépendantes de cette situation.

29. Déterminons ces variables, en fonctions du temps (, dans le cas où le corps n'est sollicité par aucunes forces extérieures. Pour cela, reprenons les équations (D) du n° 26, entre les variables />', (\, T qui sont aux précédentes, dans un rapport constant. Les dififérentielles rfiV, àK et àW sont alors nulles, et ces équations donnent, en les ajoutant ensemble, après les avoir multipliées respectivement par p', (\ et r ,

et en intégrant ,

k étant une constante arbitraire.

Les équations (D) multipliées respectivement par AB.p,BC.q et ilC. r, et ensuite ajoutées, donnent en intégrant leur somme,

H étant une constante arbitraire : cette équation renferme le

principe de la conservation des forces vives. On tirera de ces deux

intégrales ,

,, AC.k*—W-hA.{B—C).p'

,, H'—BC.k'—B.[A—C).p*

ainsi, Ton connaîtra (f et r en fonctions du temps t, lorsque p sera déterminé; or la première des équations (D) donne

. ABAp'

^^~ [A—B).(i'r partant

ABC. dp ^

~ \/\AC.k'—W-^A\B—C).p''\.\W—BC.k-—B\A—C).p'^\ '

équation qui n est intégrable que dans l'un des trois cas suivants, B=A,B=C,A = C.

La détermination des trois quantités p\ q, r renferme trois arbitraires H\ k\ et celle qu'introduit l'intégration de l'équation diflFérentielle précédente. Mais ces quantités ne donnent que la position de l'axe instantané de rotation du corps, sur sa surface, ou relativement aux trois axes principaux, et sa vitesse angulaire de rotation. Pour avoir le mouvement réel du corps autour du point fixe, il faut connaître encore la position des axes principaux dans l'espace; ce qui doit introduire trois nouvelles arbitraires relatives à la position primitive de ces axes, et ce qui exige trois nouvelles intégrales qui, jointes aux précédentes, donnent la solution complète du problème. Les équations (C) du n" 26 renferment trois arbitraires iV, N\ N"; mais elles ne sont pas entièrement distinctes des arbitraires H et k. En efifet, si l'on ajoute ensemble les carrés des premiers membres des équations (C), on a

ce qui donne /t*= A^'-f-A^'*H-iV"'.