PREMIÈRE PARTIE, LIVRE PREMIER
dans ce cas, les constantes Met M' sont infiniment petites; et si 71 est une quantité réelle, les valeurs de q et de r resteront toujours infiniment petites, et Taxe réel de rotation ne fera jamais que des excursions du même ordre autour du troisième axe principal. Mais si n était imaginaire, sîn. (/l'-t-y), et cos. {nt-hy) se changeraient en exponentielles; les expressions de q et de r pourraient donc alors augmenter indéfiniment, et cesser enfin d'être infiniment petites; il n y aurait donc point de stabilité dans le mouvement de rotation du corps autour du troisième axe principal. La valeur de n est réelle, si Cest la plus grande ou la plus petite des trois quantités A, B, C; car alors le produit (C — A) .[C — B) est positif; mais ce produit est négatif, si C est entre A et B, et dans ce cas n est imaginaire : ainsi le mouvement de rotation est stable autour des deux axes principaux dont les moments d'inertie sont le plus grand et le plus petit; il ne Test pas autour de l'autre axe principal.
Maintenant, pour déterminer la position des axes principaux dans l'espace, nous supposerons le troisième axe principal, à fort peu près perpendiculaire au plan des x et des y, en sorte que d soit une quantité très-petite dont nous négligerons le carré. Nous aurons par le n° 26,
d(p — dy^=pdt; ce qui donne en intégrant,
^ = <P—pt—e,
e étant une constante arbitraire. Si l'on fait ensuite
sin. d.sin. (p=s, sin.S .cos. <p = u;
les valeurs de ^ et de r du n^ 26 donneront, en éliminant dy^,
d$ du
— -pu = r, —^ps=~<i;
et en intégrant,
5 = ê.sin. [pt-hT^) — ^p— .sin. {nt-hy) ,
71 = g. COS. (pt-hX) j^, — .COS. {nt-hy) ;
ê et X étant deux nouvelles arbitraires : le problème est ainsi complètement résolu, puisque les valeurs de 5 et de u donnent les angles et (^ en fonction du temps, et que -^ est déterminé en fonction de ^ et de t. Si ê est nul, le plan des x et des y devient le plan invariable auquel nous avons rapporté, dans le numéro précédent, les angles d, (p et >|/.
31. Si le solide est libre, l'analyse des numéros précédents donnera son mouvement autour de son centre de gravité : si le solide est forcé de se mouvoir autour d'un point fixe, elle fera connaître son mouvement autour de ce point. U nous reste à considérer le mouvement d'un solide assujetti à se mouvoir autour d'un axe fixe.
Concevons que x soit cet axe, que nous supposerons horizontal : dans ce cas, la dernière des équations (JS) du n** 25 suffira pour déterminer le mouvement du corps. Supposons de plus que l'axe des y soit horizontal, et qu'ainsi Taxe des z soit vertical et dirigé vers le centre de la terre; supposons enfin que le plan qui passe par les axes des y et des z passe par le centre de gravité du corps, et imaginons un axe passant constamment par ce centre et par l'origine des coordonnées. Soit 6 l'angle que ce nouvel axe fait avec celui des z; si l'on nomme y et z les coordonnées rapportées à ce nouvel axe, on aura
y=:y. COS. d-r-z.sin. 6, z -=z\cos. 6 — y\ sin. 6 ; d'où Ton tire
., {fdz' — z'dy\ j de ^ j I V, , .,^
S.\^- j^ — ^-ydm= -^ — .S.dm,{y^^-z').
