LIVRE QUATORZIÈME

que les petites inégalités du mouvement de rotation correspondantes aux inégalités du mouvement de révolution. Passant ensuite à la libration de la lune en latitude, il donne les équations différentielles de riuclinaison de Téquateur lunaire et du mouvement de ses nœuds. Mais ayant négligé, en les intégrant, comme on le peut relativement à Técpiateur terrestre, les différences secondes, ce qui, par ce qui précède, simplifie considérablement Tintégration de ces équations, il ne put expliquer le phénomène singulier de la coïncidence des nœuds de Téquateur et de Torbite lunaire : seulement, il trouva que cette coïncidence existe dans un cas particulier qui fait entrevoir sa possibilité dans le cas général. Mais les inégalités arbitraires introduites par l'intégration complète des équations aux différences secondes peuvent seules expliquer comment, dans le cas infiniment vraisemblable dune trèspetite différence initiale entre les positions des nœuds de Torbite et de Téquateur lunaire, l'attraction terrestre établit et maintient la coïncidence de leurs nœuds moyens. Lagrange, dans les Mémoires de l'Académie de Berlin pour l'année 1780, reprit la théorie de la libration de la lune au moyen d'une très-belle analyse : il expliqua de la manière la plus heureuse la coïncidence des nœuds moyens de l'équateur et de l'orbite lunaire, et il détermina la loi des oscillations du nœud vrai de l'équateur lunaire autour de son nœud moyen.

Il restait, pour compléter la théorie de la lune, à déterminer l'influence des grandes inégalités séculaires des mouvements de la lune, sur les phénomènes de sa libration : c'est ce que j'ai fait dans le chapitre 11 du cinquième livre. Les inégalités séculaires de son mouvement de révolution s'élevant à plusieurs circonférences devraient à la longue présenter à la terre toutes les parties de sa surface. Mais je démontre que l'attraction de la terre sur le sphéroïde lunaire donne au mouvement de rotation de ce sphéroïde les inégalités séculaires de son mouvement de révolution, et

rend invisible à jamais Thémisphère opposé à celui qu elle nous présente. Je fais voir encore que cette même attraction maintient les mêmes inclinaisons moyennes de l'équateur et de l'orbite lunaire sur Técliptique vraie et la coïncidence de leurs nœuds au milieu des mouvements séculaires de cette écliptique. Ce résultat est analogue à celui que l'attraction du soleil et de la lune sur le sphéroïde terrestre produit, en réduisant au quart environ les variations séculaires de l'obliquité de l'écliptique et de la longueur de Tannée, qui auraient lieu par l'action des planètes si la terre était sphérique, et qui deviendraient insensibles si le mouvement des équinoxes était aussi rapide que celui des nœuds de l'orbite lunaire.

En discutant avec un soin particulier les inégalités de la libra* tion en latitude, M. Poisson a reconnu une petite inégalité qui dépend de la différence en longitude du nœud et du périgée lunaire. Un nouvel examen de la théorie de la libration m'a fait voir ensuite que rien de sensible n'avait été omis; en sorte que cette théorie ne laisse maintenant à désirer qu'une longue suite d'observations, au moyen^ desquelles on puisse déterminer avec précision les quantités inconnues que cette théorie renferme, et surtout les rapports des moments d'inertie des trois axes principaux du sphéroïde lunaire. C'est dans cette vue que j'avais invité les astronomes de l'Observatoire royal à vouloir bien entreprendre cette suite d'observations, et à la comparer aux formules de la théorie. M. Nicollet a exécuté ce travail important en y employant cent soixante et quatorze observations faites par lui et par MM. Bouvard et Arago. L'inclinaison de l'équateur lunaire à l'écliptique, qu'il trouve en degrés sexagésimaux de i^aS'^ô", et qui ne diffère que de lô'' de celle que Mayer avait trouvée, est une donnée précieuse en ce qu'elle détermine avec beaucoup d'exactitude les rapports des moments d'inertie du plus grand et du plus petit axe du sphéroïde lunaire. La plus sensible des inégalités de la libration

est Tinégaiité de ia libration en longitude, dépendante du sinus de Tanomalie moyenne du soleil. M. Nicollet trouve en secondes sexagésimales, 4'48\7 pour le coefficient de cette inégalité, qui donne le rapport des moments d'inertie du plus grand axe et de Taxe moyen du sphéroïde lunaire. Mais pour que Ton puisse compter sur ce rapport, il faut un nombre plus grand encore d'observations.

Remarques sur la théorie de la libration de la lune.

6. Les formules que j'ai données dans le chapitre ii du cinquième livre me paraissent laisser peu de chose à désirer. Il y a quelques fautes d'impression, dont je donnerai Y errata à la fin de ce volume.

L'expression de la libration en latitude renferme une petite inégalité qui, pouvant devenir sensible dans des observations exactes, mérite d'être considérée. Pour la déterminer, nous transporterons à la lune les expressions de dp, dq et dr du n"" 2, et nous observerons que, l'inclinaison de l'équateur lunaire à Técliptique étant très-petite, nous pouvons négliger son carré et son produit par le carré de l'inclinaison de l'orbite lunaire. Cela posé, on aura par le n"" 2

Adq + {C^B).prdt=^^^{C--B)sin.{v-(p)[d.s^^^^

Bdr+{A-C).p<jdt=^^^{A-C)cos.{v-f)[d.sm.v-hy.s\n.v]:

L est ici la terre, v est sa longitude, vue de la lune et rapportée au nœud de l'orbite lunaire, en sorte que y. sin. u est sa latitude, vue pareillement de la lune. Soit