LIVRE QUINZIÈME

f année 1786, les variations différentielles des éléments- du mouvement elliptique; mais Newton n'ayant point fait cette application délicate, on doit considérer sa remarque comme une des choses de son admirable ouvrage qui ont été le germe des belles théories de ses successeurs.

Newton a étendu sa méthode au cas général d'un point sollicité par une force centrale, variable suivant une fonction quelconque de la distance. 11 donne l'expression du carré de la vitesse du point, et il en conclut, au moyen des quadratures des courbes, la nature de la courbe décrite et le temps employé par le mobile à décrire ses diverses parties. Il parvient à ce résultat singulier, savoir, qu'un point qui décrit une courbe en vertu d'une force centrale pourra décrire de la même manière cette courbe supposée mobile, si l'on augmente la force centrale d'une quantité réciproque au cube du rayon vecteur: alors les vitesses angulaires du point et de la courbe sont en raison constante. Newton déduit de ce théorème un procédé fort ingénieux pour avoir le mouvement des apsides dans une orbite presque circulaire décrite en Terlu d'une force centrale exprimée par une fonction quelconque de la distance. Ce procédé, réduit en formule générale, donne f angle décrit par le mobile, en allant d'un apside au suivant, égal à la demi-circonférence multipliée par la racine carrée d'une fraction dont le numérateur est le produit de l'expression de la farce centrale par le carré du rayon vecteur, et dont le dénominateur est le coefficient de la différentielle du rayon vecteur, dans la différentiation du produit de l'expression de la force centrale pir le cube de ce rayon; cette fraction étant rapportée, après les différentiations, à la moyenne distance du mobile à l'origine de la force centrale.

Newton applique son procédé au cas où la force centrale étant i^roque an carré de la distance, une action étrangère la diminue d*une quantité proportionnelle au rayon vecteur. En sup-

posant celte quantité -77- de la force centrale dans les moyennes

distances, ce qui a lieu, à fort peu près, relativement à faction du soleil sur la lune, décomposée suivant le rayon vecteur lunaire; il trouve le mouvement de f apogée plus petit de moitié que celui de fapogée de la lune. C'est ce qu une première approximation donna ensuite aux géomètres qui appliquèrent les premiers fanalyse à la théorie de la lune. Mais il est remarquable que Newton, dans la proposition IV du troisième livre des Principes, cherchant à corriger la tendance de la lune vers la terre , de f effet de f ac-

tion solaire, suppose cet effet égal à -^-p- de la pesanteur de ce

satellite, c est-à-dire tel qu'il résulte du mouvement observé de fapogée lunaire.

Newton transporta facilement ses résultats, au mouvement de deux points matériels A et B, qui s'attirent en raison de leurs masses et suivant une fonction quelconque de leur distance mutuelle. Il avait établi que le mouvement du centre de gravité d'un système de corps ne reçoit aucun changement par leur action réciproque; en imprimant donc à ces points une vitesse égale et contraire à la vitesse initiale de leur centre commun de gravité, ce qui ne change point leur mouvement relatif, ce centre devient immobile. Le point A est attiré vers lui par f attraction du point B. En substituant ainsi dans fexpression de fattraction de ce dernier point, au lieu de la distance mutuelle des deux points, le rayon vecteur mené du centre de gravité au point A, et multiplié par le rapport de la somme des masses A et B à la masse B, le mouvement de A autour du centre de gravité sera ramené au cas d'un point attiré, suivant une fonction du rayon vecteur, vers un centre de forces immobile.

Par la nature du centre de gravité, les deux points A etB sont toujours avec lui, sur une même droite; et leurs distances à ce centre sont en raison constante soit entre elles, soit avec leur