LIVRE QUINZIÈME

divisé par le cube de la distance de la molécule attirante à ce même œntre. Je nommerai cette îoncûon fonction perturbatrice. La propriété dont elle jouit d'exprimer par ses différences partielles les forces perturbatrices du mouvement du point attiré simplifie extrêmement les calculs, et donne à leurs résultats une forme qui fait voir facilement leurs rapports, surtout quand on considère une infinité de molécules attirantes ou attirées, comme dans les théories de la figure des planètes, du flux et du reflux de la mer, et de la précession des équinoxes. Son introduction dans la Mécanique céleste est, à cause de son utilité, une véritable découverte.

Lagrange, en appliquant la méthode précédente de la variation des éléments elliptiques, à l'expression du quotient de l'unité divisée par le grand axe, reconnut que la différentielle de cette expression prise en moins est la différentielle exacte de la fonction perturbatrice, prise par rapport aux seules coordonnées de la planète troublée. Si l'on développe cette fonction dans une série de sinus et cosinus d'angles croissants proportionnellement au temps, et si Ton néglige le carré des forces perturbatrices, on obtient cette différentielle, en ne faisant varier, dans ces sinus et cosinus, que les angles qui se rapportent à la planète. Lagrange en conclut que l'expression du grand axe ne contient que des inégalités périodiques, et qu'ainsi la longitude moyenne que l'on en déduit par les lois de Kepler ne contient elle-même que des inégalités de ce genre, et ne renferme point d'inégalités séculaires. Ce théorème, auquel j'étais parvenu en négligeant les produits de quatre dimensions des excentricités et des inclinaisons des orbites, fut ainsi, non-seulement confirmé par ce grand géomètre, de la manière la plus élégante et la plus simple, mais encore étendu à des excentricités et à des inclinaisons quelconques.

J'ai fait voir, dans le sixième livre, qu'en ayant égard aux carrés et aux produits des masses de Jupiter et de Saturne, leurs grandes inégalités n'altèrent point ce résultat. M. Poisson est

ensuite parvenu , par une savante analyse insérée dans le tome VIII du Journal de l'Ecole polytechnique, à démontrer généralement que le carré de la force perturbatrice n'introduit que des quantités périodiques dans l'expression de la longitude moyenne; résultat important dans l'astronomie, parce qu'une inégalité séculaire dans l'expression différentielle du grand axe, quoique multipliée par le carré des masses planétaires, donnerait, par la double intégration qu'elle subit dans l'expression de la longitude moyenne, une inégalité du même ordre que l'inégalité du mouvement elliptique, dont l'argument est le double de l'anomalie. Ces recherches de M. Poisson, et celles qu'il a publiées, dans le même volume, sur la précession des équinoxes et sur l'uniformité de la rotation de la terre, lui ont acquis de justes droits à la reconnaissance des géomètres et des astronomes.

Le résultat précédent cesse d'avoir lieu si les moyens mouvements ont entre eux des rapports commensurables. Ce cas trèssingulier se présente dans le système des satellites de Jupiter, et je l'ai discuté dans les Mémoires de l'Académie des sciences de 1784* La longitude moyenne du premier satellite, moins trois fois celle du second, plus deux fois celle du troisième, est égale à la demi-circonférence. L'approximation avec laquelle les Tables des satellites de Jupiter par Vargentin donnent ce rapport me fit soupçonner qu'il est rigoureux. Il était contre toute vraisemblance de supposer que le hasard a placé originairement les trois premiers satellites aux distances et dans les positions convenables à ce rapport, et il était extrêmement probable qu'il est du à une cause particulière. Je cherchai donc cette cause dans l'action mutuelle des satellites. L'examen approfondi de cette action me fit voir qu'elle a suffi pour rendre ce rapport rigoureux, s'il a été fort approché à l'origine; d'où je conclus qu'en déterminant de nouveau , par la discussion d'un très-grand nombre d'observations éloignées entre elles, les longitudes moyennes des trois