CHAPITRE IL

con$id]<:rvtions sur quelques objets du second livre.

Sur les variations des éléments du mouvement elliptique.

2. Tai donné, dans le chapitre viii du second livre, les expressions différentielles des éléments du mouvement elliptique. J'ai repris cet objet d'une manière encore plus générale dans le Supplément à la Mécanique céleste. Je vais ajouter ici quelques consddératioDs à ce que j'ai dit dans ce Supplément, dont je conserverai les dénominations, et que je suppose que Ton ait sous les yeux.

Les équations (5) et (6) de la page 3 60 du troisième volume supposent que Ton néglige les carrés et les puissances supérieures de p et de (j, ce qui revient à les considérer comme infiniment petites. Mais il est facile d'étendre ces équations au cas où ils sont finis. Pour cela, imaginons sur la surface d'une sphère deux arcs i4C et fiC se coupant en C, et dont le premier représente un plan infiniment peu incliné à l'orbite représentée par BC, C étant le nœud ascendant de cette orbite sur A C. Représentons encore par l'arc BAM un autre plan fixe formant avec AC l'angle aigu et fini CAB. Je ne donne point ici cette figure, parce qu'elle est simple et facile à tracer d'après les indications précédentes. Nommons y Findinaison de l'orbite BC sur BM ou le supplément de l'angle CBM. AC étant ce que j'ai nommé 6 dans le Supplément cité, et

l'angle ACB étant ce que j'ai nommé y, on aura, en désignant par TT la demi-circonférence et par A l'angle CAB,

i4 H- TT — y-{-yz= ir -h surface il 5 C.

La surface A 5 C est aux infiniment petits près du second ordre, égale à y (i — cos. 0) , et par conséquent égale à y — cj, q désignant, dans le Supplément, y cos. 0; on a donc

il-h'jr — y-+-y=:7r H-y — cj; ce qui donne en différentiant

dq = dy.

On a ensuite, en faisant AB=f,

sin. y. sin. 6 = sin.f. sin.y .

Ce qui donne, en observant que y et/ sont infiniment petits, et que y. sin.O est ce que nous avons nommé p dans le Supplément,

dp= df. sin. y.

Nommons présentement 0' la distance du nœud de l'orbite sur BAM au point fixe M, et faisons

p =sm.y .sm.cr, q =sm.y .cos.cr ; on aura, en observant que àj=r. dd\

dp zz= dy\ COS. y. sin. 0' -+- df. sin. y'. cos. 0\ dq=^ dy. COS. y. cos.0' — df. sin. y. sin, B'.

L'expression précédente de dp donne

^ sm.y