LIVRE ONZIÈME

c'est Téquation que j*ai donnée dans le n° 10 du troisième livre. Ici Torigine de r est au centre de la sphère tangente. Fixons cette origine à un point quelconque très-proche du centre de gravité du sphéroïde, et désignons par a. (n-aj) le rayon de ce sphéroïde, a étant un très-petit coefficient constant. L'attraction de

ce sphéroïde, dirigée vers l'origine de r est — ("T~)» ^t îl ^^t

facile de voir qu'elle est aux quantités près de l'ordre a' la même, quelle que soit cette origine, pourvu que cette origine ne s'écarte que d'une quantité de l'ordre a, du centre de gravité du sphéroïde ; car cette attraction , composée avec une force qui lui est perpendiculaire et de l'ordre a, produit la pesanteur totale, dont elle ne diffère par conséquent que d'une quantité de l'ordre a\ Ainsi l'équation précédente (6) subsiste en fixant l'origine de r à un point quelconque situé fort près du centre de gravité du sphéroïde.

Telle est la démonstration que j'ai donnée de cette équation dans l'endroit cité de la Mécanique céleste. Quelques géomètres ne l'ayant pas bien saisie, l'ont jugée inexacte. Lagrange, dans le tome VIII du Journal de l'Ecole polytechnique, a démontré cette équation par une analyse à peu près semblable à celle qui me l'avait fait découvrir [Mémoires de l'Académie des sciences, année 177 5, page 83). C'est pour simplifier cette matière, que j'ai préféré de donner dans la Mécanique céleste la démonstration précédente.

Si le point attiré est élevé d'une quantité aay au-dessus de la

surface du sphéroïde, V étant de la forme ^ tt. h aR, il ne

variera, par ce déplacement du point, et en négligeant les quantités de l'ordre a', que de la quantité — -^.n. tfa.j. La différence

partielle ^l^— ) variera de la quantité -^ir. a". «y,- la variation