LIVRE SEIZIÈME

de la lune, ou du mois sidéral à Tannée sidérale, v' est la longitude du soleil, et t; celle de la lune. La force qui retient la lune dans son orbite est prise pour unité de force, ainsi que le rayon moyen de Torbite lunaire est pris pour unité de distance ; ce qui donne la vitesse moyenne de la lune égale à Tunité de vitesse, puisqu*en vertu des théorèmes d'Huygens sur la force centrifuge, la force centrale de la lune est égale au carré de sa vitesse divisé parle rayon de son orbite. En multipliant l'expression précédente, par l'élément dt du temps, la somme de tous les produits, correspondante à un temps quelconque, sera Taccroissement de vitesse résultant de la force perpendiculaire au rayon. En le multipliant par ^dft;, on aura aux quantités près de Tordre du carré des forces perturbatrices, Taccroissement de Taire décrite par le rayon vecteur de la lune, pendant Tinstant dt. Newton détermine par un procédé particulier la somme des produits de dt par la force

3m\ sin. [v — v) . cos. {y' — v) .

Cette somme est à fort peu près Tintégrale de la différentielle

im*dv. sin.(mt; — v). cos.{mv — v) ,

eo substituant mv pour v, ce que Ton peut faire quand on néglige f excentricité de Torbe terrestre, et en mettant dv pour dt, la vitesse

moyenne ^ étant prise pour unité. Cette intégrale, prise depuis

la quadrature, où t; — mv est un angle droit, est

3m*. cosV {v—mv) 2(1— m)

Cette expression, multipliée par \d\j, donne Taccroissement de faire instantanée égal à

3m*dv 3 m* dv.cos,{2v — 2mv)

ainsi la variation de cette aire est

3 m*dv. cos.(2u— 2mv) 8(i-m) •

Cette variation est nulle dans les octants où, par conséquent,

Taire instantanée a sa valeur moyenne : en prenant pour unité

cette valeur, la valeur de Faire instantanée sera, dans les autres

points de l'orbite,

i-f- T? T. COS. (2V — 2 mv).

La valeur de Taire instantanée est donc à sa valeur moyenne comme

—^5 — — ^-f-cos.(2t> — 2mv) esta \, , ;

et à cause de m* égal à — 5 — , comme

2 2 0,46 -f- COS. (2 1; — 2mv) est à 220,46;

ce qui est le résultat de Newton.

Le carré de la vitesse de la lune autour de la terre est

— -T- — , en représentant par r son rayon vecteur. Mais si Ton

fait, avec Newton, abstraction de Texcentricité de Torbite, rfr* devient de Tordre du carré de la force perturbatrice, et peut ainsi

être négligé; en sorte que Ton peut supposer le carré de cette

r*(iu* vitesse égal à -^rr- Mais Taire décrite par le rayon vecteur j)en-

dant Tinstant dt, est yr^Jt;. Le carré de cette aire divisé par dt^

est Yj^ ; il est donc le quart du carré de la vitesse multiplié par

r\ Dans les syzygies et dans les quadratures, les carrés des aires instantanées sont, par ce qui précède, dans le rapport