DE L'AXE DE ROTATION DE LA TERRE

8. Soit a(i t-aj,) le rayon d'une couche du sphéroïde terrestre, l'origine de ce rayon étant supposée au centre de gravité du sphéroïde; j, étant fonction de a, du sinus de la latitude, que je désignerai par (x^, et de la longitude que je désignerai par tar^ : je suppose y^ développé dans une suite de la forme

Y/'--4-Y/*^-t-\/^--f-etc.

1iV'^ étant assujetti à l'équation aux différences partielles

Transportons l'origine des rayons terrestres à un point quelconque qui ne soit éloigné du centre de gravité du sphéroïde que d'une quantité de l'ordre a; il est facile de voir que cela ne fait qu'augmenter \V'^ de la quantité

Q f^i -î-Q^'^- V^ "f^i'- sin. tsr, H-Q^" . 0 — (x,\ cos. tsr,. (a)

Concevons par cette nouvelle origine un second axe parallèle au premier, et rapportons-y les variables (x, et tar,. Elles ne différeront des précédentes que des quantités de l'ordre a; en négligeant donc les quantités de l'ordre a\ les valeurs de Y/' , YV'\ etc. seront les mêmes que les précédentes; seulement la fonction Y/'^ sera augmentée de la quantité (a). Nous pourrons ainsi exprimer avec cette condition, le rayon d'une couche terrestre rapporté à ce second axe par a. (i-^-aj,).

Concevons ensuite, par la nouvelle origine, un troisième axe aboutissant à un point quelconque de la surface du sphéroïde, pour lequel jx^ et ^, soient cos. A et H. Soient (x et tsr ce que deviennent jx^ et ^^ relativement à ce troisième axe, les tar étant comptés du méridien qui passe par les extrémités du second et du troisième axe. On aura par les formules de la trigonométrie sphérique,

|x=cos, A. fjt, -h sin. A. y i — |x/. cos. (taf» — H) , \/i — fx»*. sin. tiT = \/ 1 — fjt,*. sin. (tiT, — II) ;

ce qui donne

\/i — (x'. COS. tiT= COS. A. \/i — (i,\ cos.(tiy, — II) - sin. A. (x».

Désignons par x, y, z, les trois coordonnées d'une molécule dm, de la couche du sphéroïde dont le rayon est a.(n-aj,), rapportées, la première au troisième axe dont nous venons de parler, la seconde au plan du méridien origine des tzr, et la troisième au plan perpendiculaire à ce méridien. On aura

^=a.(i-+-aji).|x.

j = a.(n-ayi).\/i — |x*. cos.tiT, z = a.(n-aj,).\/i — (X*. sin.tiT.

On a ensuite, en exprimant par p la densité de dm,

rfm=ptf.(n-ay,)*. dfi,. d^,. d. a.(n-aj,) ;

cette dernière caractéristique diflFérentielie d étant uniquement relative à la variation de a. On aura donc

jxy. dm = T./p. dfi,. d^,. d. a\(i-f-aj,)\ (x.y/i — (x*. cos.tsr,

fx z. dm = T'fp* d(i^. d^^. d. a\[i-h ay, y. f*. y/ ^ — f^*- sin.tsr,

fy z. dm= -r./p. c/(x,. d^,.d. a'.(i+aj,) .(i — (x*). sin. tsr.cos.'CT,

/(j*— i*) .(/m = -^./p. rf(x,. rfiaf, . rf. a\ ( 1 + aj,) . ( i — (X'j . (cos\ ^ — sin'. tsr) .

Les intégrales doivent être prises depuis (x, = — i jusqu'à (x, = i, depuis ^,= 0 jusqu'à tafi^îTr, et depuis a=o jusqu'à a = i. En substituant pour (x, \/i — (x' sin.tar, y/i — (x'.cos.tar, leurs valeurs précédentes en (x, et laf,, on aura

-.sin. A. COS. A

/* y. dm = a,fp. d(i,. d^,. d. a'j,.|+ cos. 2 A. jx^. \J i— (x/. cos.('cy, —H )

(+ -.sin. A. COS. A.(i — (x/).cos. (atsT, — ai

Icos. A. (Xi.\/i— (Xi\sin.(tafj — n) + -.sin.A.(i-(x;).sin.(2tiT,-2n)

^.cos.A.(i-fi,^).sin.(2«,-2n) j yz.dm.=ct.jp.d\i,.d'ui,.d.a.y^.{ ^

(— sin. A. (X,. yA —(x/. sîn.('CT, — H ) 1 -.sin'. A.(3(x/ — i)

f[f-z').dm=a.fp. rf(x,. rfiafi. rf. a'.j,.j— 2. sin. A. cos. A. |x,. y/i— (Xi*. cos.(tar, -I

/ , (i+cosVA) / ,\ / „.

\+' ^.(l-fA,').C0S.(2tST, — qH

Dans ces équations, les coefficients de p.d(i,d^,.d.a\y^ sont compris dans la forme Y/*^; il faut donc, par le n° 17 du troisième livre, ne considérer dans j» que le terme Y/*^ L'expression

générale de ce terme est

h^'lU,' — ^ J W- h^'K f^i- V ^ — f^t'- sîn. tïT, H- h^'K (x,. y/i — ft»*. cos. tsr,

A^"\ /t^*\ k*\ h^'\ A^*^ étant des fonctions de a. On trouvera ainsi

fxy.dm== ^^ .sm. 2 A. fp. d. a'h^'^

sin. n./p. rf. a* A^*^ | -COS. U.fp.d.a^h^*^)

sm.2U.fp.d.a'h^'^] - COS. 2 n./p. rf. a' A^*^ P

/^,.rfo,= i^.cos.A. j COS. n./p.^.a'J'"j •^ '-^ ^ -sin. n./p.d.a'Aw(

COS. 2n./p.rf.a'A'"j » 5 '" j sin. a n./p. </. a* A"' j '

''•^ »ô j- sin.2n./p.rf.a'AW)

4w.a . . i COS. U.fp.d.a'h^'^]

'û j— sin. n./p.(i.a'^<*'(

/( j* — ?). dDi= -^. sin'. A./p. ff.a'AW

8^.sin.A.cos.A.J «^°- n./p.ci.a»A<') j •ô j-l-cos. n./p.rf.a'Awj

, 8w.a , , , A\ ( sin.alI./p.J.a'A''' j

H ;^.(H-COS'.A).| Jr l

'^ ^ \j-f-cos.2n./p.d.a'^«"j

Maintenant, si nous imaginons que Taxe du sphéroïde auquel nous venons de rapporter les coordonnées x» y, z, soit fixe dans le sphéroïde et dans l'espace , de manière cependant que le sphé-