CHAPITRE PREMIER

NOTICE HISTORIQUE DES TRAVAUX DES GlÉOMéTRES SUR CET OBJET.

1. Je ne parlerai, dans cette notice, que des recherches sur la théorie mathématique de la terre. On ne peut alors remonter qu'à Newton, fondateur de cette théorie, quil publia, sur la fin de 1687, dans ses Principes mathématiques de la philosophie naturelle. Ce grand géomètre y considère la terre comme une masse fluide homogène, douée d'un mouvement de rotation, et dont toutes les parties s'attirent réciproquement au carré de la distance. Il suppose ensuite que cette masse prend, dans l'état d'équilibre, la figure d'un ellipsoïde de révolution, et il cherche, dans cette supposition, le rapport de l'axe du pôle à celui de l'équateur. Pour cela, il conçoit deux colonnes fluides partant du centre, et aboutissant, l'une au pôle, et l'autre à Téquateur, et il observe que les poids de ces deux colonnes doivent se faire équilibre. Si l'on imagine l'ellipsoïde divisé en couches infiniment minces et semblables, la gravité (je nomme ainsi la résultante de toutes les forces attractives) sera aux pôles de ces couches proportionnelle à leurs petits axes; car Newton établit cette proposition remarquable, savoir : qu'un point placé dans un ellipsoïde creux, dont les deux surfaces intérieure et extérieure sont semblables et semblablement situées, est également attiré de

toutes parts* Ainsi, à la surface d'une couche terrestre, les couches supérieures nont aucune influence sur la gravité qui, par conséquent , est la même qu au pôle de Tellipsoïde terminé par la surface de cette couche. Or, il est facile de voir que la gravité des points semblablement situés sur les surfaces de deux corps homogènes semblables et de même densité, est proportionnelle aux dimensions linéaires et semblables de ces corps. Cela résulte de ce que Tattraction étant égale à la masse divisée par le carré de la distance, elle nest que d'une dimension, relativement à l'étendue; De là il suit que le poids de la colonne du pôle étant la somme des gravités aux surfaces des diverses couches, il est égal au produit de la pesanteur au pôle, par la moitié de la longueur de cette colonne ou par le quart de l'axe du pôle. Un raisonnement semblable fait voir que le poids de la colonne de l'équateur est le produit de la pesanteur à l'équateur par le quart du demi-axe de l'équateur. Car la pesanteur à l'équateur est la gravité diminuée de la force centrifuge, et cette force diminue de la surface au centre comme la gravité, c'est-à-dire proportionnellement à la distance à ce point. Ainsi, dans l'état d'équilibre, le produit de la gravité au pôle par Taxe du pôle, est égal au produit de la pesanteur à l'équateur par l'axe de l'équateur.

Pour avoir au pôle la gravité qui, sur ce point, est la pesanteur même, Newton considère un ellipsoïde de révolution, dont l'axe de révolution contient loo parties, et l'axe de l'équateur loi; et il trouve , au moyen des propositions qu'il établit sur la gravité aux pôles des sphéroïdes de révolution, que la gravité au pôle de cet ellipsoïde est à la gravité à la surface d'une sphère dont le diamètre est de loo parties, comme 126 est à 12 5.

Newton obtient de la manière suivante la gravité à un point

quelconque A de l'équateur du même ellipsoïde. Il considère une

sphère ayant le même centre que l'ellipsoïde, dont la surface

passe par le point A, et dont le diamètre est, par conséquent,

de loi parties; et il observe que si Ton diminue d*une partie un des diamètres perpendiculaires à celui qui passe par le point A, de manière que ce diamètre ainsi diminué devienne l'axe d'un ellipsoïde de révolution passant par le même point, ce point sera un point de Téquateur de cet ellipsoïde. Newton remarque ensuite que si Ion diminue pareillement d'une partie le diamètre de la sphère, perpendiculaire aux deux premiers, on aura un second ellipsoïde de révolution , dont A sera encore un point de l'équateur. Si Ton fait varier à la fois les deux derniers diamètres, on aura un ellipsoïde de révolution, dont A sera le pôle, et dont l'axe de révolution aura loi parties, l'axe de Téquateur n'en ayant que loo. Dans cet ellipsoïde, la gravité au pôle est à la gravité à la surface de la sphère dont le diamètre est de loi parties, comme 125 est à 126. Mais, par la nature des variations très-petites de deux quantités, la diminution de la gravité due à la diminution simultanée des deux diamètres est la somme des diminutions de la gravité lorsqu'on diminue le second diamètre sans diminuer le troisième, et lorsqu'on diminue le troisième sans diminuer le second; et cette somme est le double de l'excès de la gravité à la surface de la sphère, dont le diamètre est de 101 parties, sur la gravité à l'équateur de l'ellipsoïde, dont l'axe de l'oquateur étant de 101 parties, l'axe du pôle est de 100 parties. De là il est aisé

de conclure que cet excès est - . — ^ de la gravité à la surface

de cette sphère. Mais cette gravité est à la gravité à la surface de la sphère dont le diamètre est de 100 parties, comme 101 est à 1 00 ; d'où l'on conclut que la gravité au pôle de l'ellipsoïde supposé primitivement est à la gravité à son équateur comme

— p. 100: — 77^. 101, OU, à très-peu près, comme 5oi est à 5oo.

Désignons par (p le rapport de la force centrifuge à la gravité à l'équateur : les pesanteurs au pôle et à l'équateur de l'ellipsoïde seront donc dans le rapport de Soi à 5oo (1— ^). Ces pesanteurs