LIVRE ONZIEME

Pour le faire voir, nous observerons que Ton a, 9'^'^ et q^'^ étant nuls avec r,

Çfq'^'Kddq'^'^ q'^'Kddq'^')\ q'^'K dq'^ J \ dr dr ) dr

(0 /ï'(0 'rf/,'C)

q'^^ldq' dr

Le premier membre de cette équation devient, en y substituant, pour -j-2 — et -j-2 — , leurs valeurs qui résultent de Téquation différentielle en q^

n^'^ et n^'^ étant les valeurs de n relatives aux racines de l'équation (4) correspondantes à 9^*^ et q^'K De plus, à laTsurface, on a

q'^'Kdq'^'^ q'^'Kdq'^'^

car Téquation à la surface

donne les deux suivantes

r=(7-/)-."-. ^HT--^h"-'

on a donc

o =/9'w 9'w. dr. (ftnw — itnW).

De là il est aisé de voir que Ton a

AC)./<y'w q'i») dr=fdr. rf\ <p (r) , ce qui donne

At.,/^>'.ry^M.(p(r)

les intégrales étant prises depuis r= o jusqu'à T=^a. En chan-

géant 9'^*^ en q^'\ 9 ^'s elc. on aura les valeurs de A^*^ A^"\ etc. d'où Ton tire le théorème suivant :

Si Ton forme la quantité

n^'^ n étant point nul, et les intégrales étant prises depuis r nul jusqu'à r égal au rayon a de la sphère; si l'on désigne ensuite par Q^'^ la somme de toutes les quantités correspondantes à 5=0, 5=1, etc. jusqu'à s infini; l'expression de la chaleur V, après un temps quelconque t, sera la somme des valeurs de Q^*^ correspondantes à 1 = 0, 1=1, etc. jusqu'à i infini.

Dans le cas où l'état initial de la chaleur ne dépend que de r, U^'^ est nul lorsque i est égal à l'unité ou plus grand; l'expression de la chaleur se réduit alors à Q^'^ , et l'on a le résultat intéressant que M. Fourier a donné le premier pour ce cas.

J'ai supposé l'état initial de la chaleur développé sous la forme ll^'^-hU^*^-+- etc. ce développement est aussi naturel à admettre que tout autre. Il est facile d'ailleurs, par le procédé du n"* 16 du troisième livre, de donner cette forme à toute fonction rationnelle et entière des coordonnées orthogonales. On pourrait aisément, par l'analyse de ce troisième livre, obtenir cette forme au moyen d'intégrales définies; mais comme cela ne conduit à aucun résultat utile, nous nous abstiendrons de nous en occuper.

On aura ainsi égard à la partie de l de l'équation (2), qui est indépendante des fonctions périodiques du temps, et que nous avons exprimée par Y'^'^ -+- Y'^*^ -1- etc. On a vu qu'il en résulte dans la température finale la chaleur

Y'c) -i- - . h — . 4- etc.