LIVRE ONZIÈME

la valeur de V à la surface que la partie de la chaleur qui est indépendante de Faction des causes échauffantes à l'extérieur. Il est remarquable que cet accroissement fz.y de la chaleur soit indépendant du rayon du globe, et de la manière dont il est échauffé intérieurement, et qu'il ne dépende que de la chaleur des couches voisines de la surface, et de la manière dont elles perdent leur chaleur. Dans le cas présent, si l'on nomme h la valeur de V, à l'origine du temps f, à la surface, on aura

et par conséquent

v= i^.r^-('""^) .sin. L.^L j.y

Tf.r a \ af)

Au centre, où r est nul, cette expression donne, à fort peu près,

la température est donc à ce point incomparablement plus grande qu'à la surface. L'accroissement de température à une petite profondeur z, comptée de la surface, est

J'observerai ici que l'analyse par laquelle je viens d'intégrer l'équation (3) s'applique aux équations générales du mouvement des fluides, et que c'est ainsi que j'ai déterminé, dans le quatrième livre, les oscillations d'un fluide qui recouvre une sphère immobile, et qui est attiré par un astre en mouvement.

Les valeurs de Y^'^ Y^*\ Y^"\ etc. sont déterminées par l'état initial de la chaleur de la sphère. Je vais donner, pour cet objet, une méthode simple et qui peut s'étendre à beaucoup d'autres cas.

Je suppose que Tétat initial de la chaleur soit exprimé par la fonction

UC)-HU<*JH-U^^...-4-U«-f-etc.

U^'^ étant une fonction rationnelle et entière de (jl,\/i— (x*. sin.tsr, et \/i— (JL*. COS. «, assujettie à la même équation aux différences partielles que Y^*\ c'est-à-dire telle que Ton ait

, ^ '^ M-f- -^^ /■ -hi.i-hi.Uw,

dii i — ft*

les coefficients arbitraires de U'" étant ici des fonctions de r. Soit <p (r) un de ces coefficients, et r(p (r) =9', on aura par ce qui précède,

En supposant f nul dans Texpression de V, il est facile de voir que l'on aura

r. 9 (r) = k^'K 9 î«) -^ k^'K f'^ -h A^. q'^*' -+- etc.

(l'^'\ (l'^'\ ^'^*, etc. étant les valeurs de q' correspondantes aux diverses racines de l'équation (4); A^"\ \^'\ etc. sont les arbitraires qui multiplient ces valeurs, et qu'il s'agit de déterminer. Pour cela, on multipliera l'équation précédente par dr.q^''\ et Ton prendra l'intégrale depuis r nul jusqu'à r=a, ce qui donne

fdr.q^'^r(^ [r] =k^'Kfq^'^*dr^k^'Kfq^'^ q^'^ dr^ etc. Maintenant on a