LIVRE TROISIEME

tégrales du produit de chaque force finie du système, par l'élément de sa direction, somme qui dans l'état d'équilibre est nulle, devient un minimum dans l'état de mouvement. C'est en cela que consiste le principe de la moindre action, principe qui diffère de ceux du mouvement uniforme du centre de gravité, de la conservation des aires et des forces vives, en ce que ces principes sont de véritables intégrales des équations différentielles du mouvement des corps ; au lieu que celui de la moindre action n'est qu'une combinaison singulière de ces mêmes équations.

La force finie d'un corps étant le produit de sa masse par sa vitesse, et la vitesse multipliée par l'espace décrit dans un élément du temps étant égale au produit de cet élément par le carré de la vitesse , le principe de la moindre action peut s'énoncer ainsi. L'intégrale de la force vive d'un système, multipliée par l'élément du temps, est un minimum; en sorte que la véritable économie de la nature est celle de la force vive. C'est aussi l'économie que l'on doit se proposer dans la construction des machines, qui sont d'autant plus parfaites, qu'elles emploient moins de force vive, pour produire un effet donné. Si les corps ne sont sollicités par aucunes forces accélératrices, la force vive du système est constante ; le système parvient donc d'une position à une autre quelconque, dans le temps le plus court.

On doit faire une remarque importante sur l'étendue de ces divers principes. Celui du mouvement uniforme du centre de gravité et le principe de la conservation des aires subsistent dans le cas même où, par l'action mutuelle des corps, il survient des changements brusques dans leurs mouvements, et cela rend ces principes très-utiles dans beaucoup de circonstances ; mais le principe de la conservation des forces vives, et celui de la moindre action exigent que les variations du mouvement du système se fassent par des nuances insensibles.

Si le système éprouve des changements brusques par l'action

mutuelle des corps ou par la rencontre d'obstacles, la force vive reçoit à chacun de ces changements une diminution égale à la somme des produits de chaque corps par le carré de sa vitesse détruite, en concevant sa vitesse avant le changement, décomposée en deux. Tune qui subsiste, l'autre qui est anéantie, et dont le carré est évidemment égal à la somme des carrés des variations que le changement fait éprouver à la vitesse décomposée parallèlement à trois axes quelconques perpendiculaires entre eux.

Tous ces principes subsisteraient encore, eu égard au mouvement relatif des corps du système, s'il était emporté d'un mouvement général et commun aux foyers des forces, que nous avons supposés fixes. Ils ont pareillement lieu dans le mouvement relatif des corps sur la terre, car il est impossible, comme nous l'avons déjà obsei'vé, de juger du mouvement absolu d'un système de corps, par les seules apparences de son mouvement relatif.

Quels que soient le mouvement du système et les variations qu'il éprouve par l'action mutuelle de ses parties , la somme des produits de chaque corps,. par l'aire que sa projection trace autour du centre commun de gravité, sur un plan qui, passant par ce point, reste toujours parallèle à lui-même, est constante. Le plan sur lequel cette somme est un maximum conserve une situation parallèle pendant le mouvement du système : la même somme est nulle par rapport à tout plan qui, passant par le centre de gravité, est perpendiculaire à celui dont nous venons de parier; et les carrés des trois sommes semblables relatives à trois plans quelconques menés par le^ centre de gravité, et perpendiculaires entre eux, sont égaux au carré de la somme, qui est un maximum. Le plan correspondant à cette somme jouit encore de cette propriété remarquable, savoir, que la somme des projections des aires tracées par les corps les uns autour des autres, et multipliées respectivement par le produit des masses des deux corps que joint chaque rayon vecteur, est un maximum sur ce plan et sur tous