LIVRE TROISIÈME

dirigée vers un point fixe ; si de ce point on mène à chacun d'eux des rayons vecteurs que Ton projette sur un plan invariable passant par ce point, la somme des produits de la masse de chaque corps, par Taire que trace la projection de son rayon vecteur, est proportionnelle au temps. C'est en cela que consiste le principe de la conservation des aires.

S'il n'y a pas de point fixe vers lequel le système soit attiré, et qu'il ne soit soumis qu'à l'action mutuelle de ses parties , on peut prendre alors tel point que l'on veut pour origine des rayons vecteurs.

Le produit de la masse d'un corps , par l'aire que décrit la projection de son rayon vecteur, pendant une unité de temps, est égal à la projection de la force entière de ce corps, multipliée par la perpendiculaire abaissée du point fixe sur la direction de la force ainsi projetée : ce dernier produit est le moment de la force pour faire tourner le système autour de l'axe qui, passant par le point fixe, est perpendiculaire au plan de projection; le principe de la conservation des aires revient donc à ce que la somme des moments des forces finies pour faire tourner le système autour d'un axe quelconque, passant par le point fixe, somme qui dans l'état d'équilibre est nulle, est constante dans l'état de mouvement. Présenté de cette manière, ce principe convient à toutes les lois possibles entre la force et la vitesse.

On nomme force vive d'un système la somme des produits de la masse de chaque corps par le carré de sa vitesse. Lorsqu'un X)rps se meut sur une courbe ou sur une surface , sans éprouver l'action étrangère, sa force vive est toujours la même, puisque sa ntesse est constante. Si les corps d'un système n'éprouvent d'autres actions que leurs tractions et pressions mutuelles, soit immédiaement, soit par l'entremise de verges et de fils inextensibles et «ins ressort, la force vive du système est constante, dans le cas néme où plusieurs de ces corps sont astreints à se mouvoir sur

des lignes ou sur des surfaces courbes. Ce principe, que Ton a nommé principe de la conservation des forces vives, s'étend à toutes les lois possibles entre la force et la vitesse, si Ton désigne par force vive d'un corps le double de l'intégrale du produit de sa vitesse, par la différentielle de la force finie dont il est animé.

Dans le mouvement d'un corps sollicité par des forces quelconques , la variation de la force vive est égale à deux fois le produit de la masse du corps, par la somme des forces accélératrices multipliées respectivement par les quantités élémentaires dont le corps s'avance vers leurs origines. Dans le mouvement d'un système de corps, le double de la somme de tous ces produits est la variation de la force vive du système.

Concevons que dans le mouvement du système tous les corps arrivent au même instant dans la position où il serait en équilibre en vertu des forces accélératrices qui le sollicitent : la variation de la force vive y sera nulle par le principe des vitesses virtuelles; la force vive sera donc alors à son maximum ou à son minimum. Si le système n'était mû que par une seule espèce de ses oscillations simples , les corps en partant de la situation d'équilibre tendraient à y revenir si l'équilibre est stable; leurs vitesses diminueraient donc à mesure qu'ils s'en éloigneraient, et par conséquent la force vive serait dans cette position un maximum. Mais si l'équilibre n'était point stable, les corps en s'éloignant de cet état tendraient à s'en écarter davantage, et leurs vitesses iraient en croissant; leur force vive serait donc alors un minimum. De là on peut conclure que si la force vive est constamment un maxi-mum, lorsque les corps parviennent au même instant à la position d'équilibre, quelle que soit leur vitesse, l'équilibre est stable; et qu'au contraire il n'a ni stabilité absolue , ni stabilité relative , si la force vive, dans cette position du système, est constamment un minimum.

Enfin, on a vu dans le second chapitre que la somme des in-