LIVRE TROISIÈME
à Textrémité d*une droite sans masse, et fiiLe à son autre extré-mité, forme le pendule simple. Ce pendule, écarté de la verticale, tend à y revenir par sa pesanteur, et cette tendance est à trèspeu près proportionnelle à cet écart, s il est peu considérable. Imaginons deux pendules de même longueur, et partant au même instant, avec des vitesses très-petites, de la situation verticale: ils décriront, au premier instant, des arcs proportionnels à ces vitesses. Au commencemeirt d'un second instant égal au premier, les vitesses seront retardées proportionnellement aux aixs décrits, et par conséquent aux vitesses primitives; les arcs décrits dans cet instant seront donc encore proportionnels à ces vitesses. Il en sera de même des arcs décrits au troisième instant, au quatrième, etc. Ainsi, à chaque instant, les vitesses et les arcs mesurés depuis la verticale seront proportionnels aux vitesses primitives; les pendules arriveront donc au même moment à Tétat du repos. Ils reviendront ensuite vers la verticale par un mouvement accéléré suivant les mêmes lois par lesquelle leur vitesse avait été retardée, et ils y parviendront au même instant et avec leur vitesse primitive. Ils oscilleront de la même manière de Tautre côté de la verticale, et ils continueraient d'osciller à Tinfini, sans les résistances qu ils éprouvent. Il est visible que Tétendue de leurs oscillations est proportionnelle à leur vitesse primitive; mais la durée de ces oscillations est la même, et par conséquent indépendante de leur grandeur. La force qui accélère ou retarde le pendule n étant pas exactement en raison de Tare mesuré depuis la verticale, cet isochronisme nest qu'approché relativement aux petites oscillations d'un corps pesant mû dans un cercle. Il est rigoureux dans la courbe sur laquelle la pesanteur décomposée parallèlement à la tangente est proportionnelle à l'arc compté du point le plus bas, ce qui donne immédiatement son équation différentielle. Huygens, à qui l'on doit l'application du pendule aux horioges, avait intérêt de connaître cette courbe et la manière
de la faire décrire au pendule. Il trouva quelle est une cydoide placée verticalement, en sorte que son sommet soit le point le plus bas, et que pour la faire décrire à un corps suspendu à rextrémité d'un fd inextensible, il suiTit de fixer Tautre extrémité à Torigine commune de deux cycloïdes égales à celles que Ton veut ùin décrire, et placées verticalement en sens contraire, de manière que le fd, en oscillant, enveloppe alternativement chacune de ces courbes. Quelque ingénieuses que soient ces recherches, Texpérience a fait préférer le pendule circulaire, comme étant beaucoup plus simple et d'une précision suffisante, même à Tastronomie. Mais la théorie des développées, quelles ont fait naître, est devenue très-importante par ses applications au système du monde.
La durée des oscillations fort petites d*un pendule circulaire, est au temps qu un corps pesant emploierait à tomber d*une hauteur égale au double de la longueur du pendule, comme la demicirconférence est au diamètre. Ainsi le temps de la chute, le long d'un petit arc terminé par un diamètre vertical, est au temps de la chute, le long de ce diamètre, ou, ce qui revient au même, par la corde de Tare, comme le quart de la circonférence est au diamètre : la droite menée entre deux points donnés n*est donc pas la ligne de la plus vite descente de fun à Tautre, La recherche de cette ligne a excité la curiosité des géomètres, et ils ont trouvé qu elle est une cycloïde dont l'origine est au point le plus élevé.
La longueur du pendule simple, qui bat les secondes , est au double de la hauteur dont la pesanteur fait tomber les corps dans la première seconde de leur chute, comme le carré du diamètre est au carré de la circonférence. Cette longueur pouvant être mesurée avec une grande précision, on aura, au moyen de ce théorème, le temps de la chute des corps, d'une hauteur déterminée, beaucoup plus exactement que par des expériences directes. On a vu, dans le premier livre, que des expériences trèsexactes ont donné la longueur du pendule à secondes à Paris, de
