TOME m

peu près — = i , ce qui donne m*. X= -j^; Tinégalité précédente

devient ainsi

— jTf-' ^ ^.sin.K.cos. V.y.cos.(^t? — fv — 6).

Par le n*" 2 du cinquième livre,

2C—A—B='4Tr.{ap—\oi(p).D\fn.R\dR,

p étant l'aplatissement de la terre, D son demi-diamètre, et jR le rayon d'une de ses molécules, dont II est la densité; enfin, ir étant la demi-circonférence dont le rayon est l'unité. La masse M de la terre est y.7r./nil".djR; ce qui donne pour l'inégalité précédente, en y changeant F en X, qui dans la formule précédente (i) exprime l'obliquité de l'écliptique,

— I;.2> /^P""'^^\ sin.X.cos.X.y.cos. (jft; — fv — 0).

Cette formule est la formule (i), prise avec un signe contraire; d'où il suit que l'inégalité précédente du mouvement de la lune en latitude est la réaction de la nutation de l'axe terrestre; et il y aurait équilibre autour du centre de gravité de la terre, en vertu des forces qui produisent ces deux inégalités, si toutes les molécules de la terre et de la lune étaient fixement liées entre elles, la lune compensant la petitesse des forces qui l'animent, par la longueur du levier auquel elle serait attachée.

21. Pour avoir égard à la non-sphéricité de la lune, nous observerons que, par le n"" 1, elle introduit dans Q le terme

(Af-f-m) . , ou plus simplement, , parce que nous supposons Af-4-m=:;i. On a, par le n** 14 du troisième livre,

Sï''=3^/P-^(«'I''*').

l'intégrale étant prise depuis a=o jusquà a égal au demi-diamètre de la lune, que nous désignerons par sl; et p étant ici la densité des couches de la lune. On a de plus, m=^^'rr.fp.d.a*; on a donc

m &r\fp.d.a^

Pour déterminer fp.d[a*Y^*^)y nous observerons que Ton a, par le n"* 32 du troisième livre, pour Y^*\ une expression de cette forme,

Y^'^ = h!.{\ — iû) -1- h\ (jt .\/i — ii\ sin. ^^h". (i.yji — (jt*. cos.'or -^h'\ (i — (x") .sin. 2'cr-hfc\ (i — (X*) .cos. 2^.

Ensuite les propriétés des axes de rotation donnent, par le n** 32 du livre III,

o =fp. d{a'h!'), o =fp. d{a'h"'), o =fp. d [a' h'' ) ;

et, par le n** 2 du livre V, on a

^C—A — B=r'^,(in.fp.d(a'K), B — A = '^,(tTr.fp.d{a'hr).

Ainsi Ton a

On a à très-peu près, par le n° 2 du livre V,

partant ,

^ ' m lo/p.rf.a» r* ) S— A , .. (

•^ |-h-^.(i — ft'j.cos.a'©!

Dans cette dernière expression , ^ est Tangle que le rayon mené du centre de la terre à celui de la lune fait avec Taxe principal de ce satellite dirigé vers cette planète; (x est le sinus de la déclinaison de la terre vue de la lune , par rapport à Téquateur lunaire. Il est clair que Tangle v croissant de dv, Tangle « croît de dv; on a donc d. COS. 2^^= — 2dv.sin.i^, la caractéristique diflFérentielle d se rapportant aux seules coordonnées de la lune; de plus, on a , par le n"* 46 du second livre ,

la partie de àR relative à la non-sphéricité de la lune, dans la formule [Y) du n*" 46 du second livre, est ainsi, en négligeant le carré de (x,

,D 3 fp.d.a' (5-^) j • d/(=-p— . V j . '- — 7T— . av.sm. 2tar; 5r' fp.d.a^ C

d'où résulte dans hv, ou dans la longitude vraie de la lune, par la formule [Y) du n*" 46 du second livre, le terme

L'angle tar est toujours très-petit, par le n*" 16 du livre V; en sorte que Ton peut supposer sin. 2tar=2tar. De plus, par ce même numéro, "us contient un terme de la forme

— iT.sin.

Ce terme, pris avec un signe contraire, représente, par le n^ 15 du livre V, la libration réelle de la lune. Comme il croît avec beaucoup de lenteur, il semble pouvoir devenir sensible par la

double intégration : c'est le seul de l'expression de -or auquel il soit nécessaire d'avoir égard. Il produit dans Sv le terme

6/p.rf.a' K . ( /, (B-A) . „) 5J^.-.sin.jt,.y/3L J+FJ.

La libration Jf. sin. jv. i /3 ^^ .,^^ +F\ étant insensible, on ne peut pas supposer quelle s^élève à un degré. De plus, le coefficient -r-; . Y y 3 est extrêmement petit. Si la lune est homogène,

il devient ^~7 î ûr - est le sinus du demi-diamètre apparent de

la lune; ainsi le produit de K par ce coefficient est entièrement insensible. Si la lune n'est pas homogène, sa densité croît de la surface au centre : alors ce coefficient est moindre encore; d'où Ton doit conclure que Tinégalité précédente de la longitude de la lune est insensible, et que la non-sphéricité de ce satellite ne produit aucune variation sensible dans son mouvement en longitude.

Quant à sa latitude, on doit observer que (x étant le sinus de la déclinaison de la terre vue de la lune, par rapport à Téquateur lunaire, et le nœud ascendant de Torbite lunaire coïncidant toujours avec le nœud descendant de son équateur, on a

fjt« = {5-f-X.sin. {gv'-d)\\

X étant ici l'inclinaison de Téquateur lunaire à l'écliptique; ce qui donne

la non - sphéricité de la lune ajoute donc à l'expression de

— -TT-T- ("T^l' ^^^^ ^* troisième des équations (L) du n* 1, le

terme

3/p.rf.a' 1 l-k+y) i2C-A-B , B-A

Sfp.d.a*' r* ' y

-Q 1 Q- . COS. QtST ,

OU à cause de cos. 2©=!, à très-peu près, elle lui ajoute le

terme

Gfp.d.a' j (X+y) jC-A) 5/p.cf.a'' r*' y ' C

Il est facile de voir, par le n° 14, que ce terme ajoute au mouvement du nœud la quantité

Sfp.d.a' v^ (>+y) (C-A) 5fp.d.a^' r*' y ' C '

C—A Par le n"* 18 du cinquième livre, —jr— =0,000699; ^'^^ ^^ ^^*

facile de voir que la quantité précédente est insensible.

On trouve pareillement que la non-sphéricité de la lune ajoute

au terme Tr"-("T^)» ^® ^^ troisième des équations (L) du n* 1,

le terme

3/p.d.a^ j (C-2A+B) Ôfp.d.a^'r^' C •*'

ce qui ajoute au mouvement du nœud le terme

3/p.d.a' i^ [C^2A+B) lo/p.e/.a'r»* C

quantité entièrement insensible.