DES INÉGALITÉS DE LA LUNE , DUES À L'ACTION DES PLANÈTES
22. Il nous reste à considérer l'action des planètes sur la lune. Si Ton nomme P la masse d'une planète; X, Y, Z, ses coordonnées rapportées au centre de la terre;/, sa distance à ce centre; il est visible, par le n° 1, que la valeur de Q sera augmentée, par l'action de P, de la quantité
P.{xX+yY+zZ) P
ou
P i,LlL ^±p i^^+Yy+z^y . etc
Soient X, T, Z' les coordonnées de P, rapportées au centre du soleil, X, y, z étant celles de la terre; on aura
ce qui change la fonction précédente dans celle-ci, P , P.r^ 3 p [rx+ry+Z^z^xx'-^yy^zzy
Prenons pour plan fixe celui de Técliptique, ce qui rend z nul; et nommons R le rayon vecteur de la planète P, projeté sur ce plan; U l'angle formé par cette projection et par une droite fixe prise sur le même plan; et 5 la tangente de la latitude héliocen-
trique de P. Nommons encore r le rayon vecteur de la terre; v Tangle formé par ce rayon et par la droite fixe; on aura
f=\jR\{i-+-SS)-^r'— 2Rr\ COS. [U—v).
La partie de Q relative à l'action de P sur la lune sera donc
P , P.{\+ss) 3 p \H.cos.{v-U)-'r\cos.{v-v')+Rs S\'
OU en négligeant le carré de 5,
P P.(l — 25*) 2p \R\COS.{'2V—2 U)+r\C0S.{2V—2v')—2Rr'.COS.{2V—U—t7 '
^3p R.sS.\R.cos.{v--lJ)-^r\cos.{v-^U')\ ^ ^^^
P Le terme -r ne renfermant ni u, ni t;, ni 5, il n'entre point dans
les équations (L) du n** 1. Le terme 7-77; donne par son développement une fonction de la forme
^.j|ic),A(o.cos.(^— i^')^i(^cos.([/— v')H-etc.}.
Le terme — 17 •('T^) ^^ ^^ seconde des équations (L) du n** 1 donne ainsi la fonction
(!.j|i(o)^i(o.cos.(f/— r')-+-A^^cos.2^
De là il est facile de conclure, par les n°' 9 et 10, qu'il en résulte dans l'expression de a u la fonction
j^p , i A^'Kcos,{i—m)v A^^Kcos.2 {i-'m)v A^'Kcos.3{i—m)v j
5 ^•^•j,-im*-(i-m)«"^ i-.>«-4(i-m)«+ i-±TO«-9(î-m)« +^*^f
i étant le rapport du moyen mouvement de P à celui de la lune. De là résulte, par le n° 15, dans ndt, la fonction
ri , (i4^'^cos.(î— m)i; A^*K COS. 2 (i'-'m)v i4(*^cos.3(î— m)r 1
et par conséquent dans nf-+-e, la fonction P.a' i A^'Ksin.{i-m)v ^ A^'Ksm.2{i^m)v |i4^^).sin.3(i-m)i;
Or on a, par ce qui précède, — tj- =m\ m étant la masse du soleil; la fonction précédente devient ainsi
m^' iA^'Ksin.{i—m)v jA^^Ks\n.2{i'-m)v jA^''Ksin.5[i~m)v
A^'Ks\iï.[i-m)v \A^'Ksm.i[i'-m)v \A^'ls\n.^i~m)v \ ...
Dans le cas d'une planète inférieure à la terre, on a, en nommant a le rapport de la distance moyenne de la planète au soleil, à celle du soleil à la terre, et conservant les dénominations du chapitre vi du sixième livre,
d\A^'^=h^'\ a\ A^*^=b^*\ a\A^^^=b^'\ etc.
ce qui change la fonction [A) dans celle-ci,
)1 i____ï L 1 uptr
i m • ,±TO'-(i-m)'^ ,±m'-4(i-m)' i-±n,'-9(i-m)' ^^^
dans laquelle on peut prendre pour (i — m)î;, la longitude moyenne de la planète, moins celle de la terre.
Relativement à une planète supérieure, a exprime le rapport
