TOME III
La valeur de de est ici rapportée au plan de Torbite lunaire : pour la rapporter à Técliptique, il faut, par le n** 5 du sixième livre,
lui ajouter la quantité ^ ^ ^ ^ . Déterminons présentement/) et (j.
L'équation
5=y. sin. gxj
peut être mise sous cette forme :
s = y. COS. [g — J)v.sm.fv ~f - y. sin. [g — f)v. cos. fu ;
en la comparant à celle-ci :
s^r=z(j.sm.fv — p.cos.fv; on aura
p = — y.sm.{g—f)v, cj=y.cos.{g—f)v;
ce qui donne
ci/= {g—f).pdv.
La valeur de jK renfermant le terme (ap— -|-a(p). — 7. sin. X. cos. X. q;
elle ajoute, par les équations (5) et (6) du n** 1, à la valeur de dp, le terme
— (op — T^9)'~T- ^^"- ^- ^^^' ^- ^^> on a ainsi les deux équations
dp = — [g — f). 9. dv — (ap — \ a(p). -7 . sin. X. cos. X. dv;
Ces équations donnent dans l'expression de q le terme constant
d où résulte dans la latitude s Tinégalité
— ^^—^ — S-^- — • sin. A. COS. A. y. sm. fv,
ce qui est conforme au résultat du chapitre ii du septième livre. Le terme constant de cj donne, dans la fonction ^ P P " ^ le terme
Y (ap — Ya^).— ^.sin. X. cos.X.y.dv.cos. [gv — fv);
en nommant donc Je,, la valeur précédente de de, rapportée à Técliptique, on aura
de, = — y (ap — t*^)-— r- ^^^' X. cos. X. y. dv.cos.{gv — fu),
ce qui donne dans e^y et par conséquent dans le mouvement de la lune en longitude, l'inégalité
— Y ^^ — î^^.-Y.sin.X. COS. X.-y. sin. [gv — fu) ;
résultat entièrement conforme à celui du second chapitre du septième livre.
Enfin, la fonction R étant indéterminée, les expressions difiFérentielles précédentes des éléments des orbites peuvent également servir à déterminer les variations qu'ils reçoivent, soit par la résistance de milieux éthérés, soit par l'impulsion de la lumière solaire, soit par les changements que la suite des temps peut apporter dans les masses du soleil et des planètes. Il suffit pour cela de déterminer la fonction R qui en résulte, par les considérations exposées dans le chapitre vu du dixième livre.
Sur les deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne.
5. Dans la théorie de ces inégalités, exposée dans le sixième livre, j'ai eu égard aux cinquièmes puissances des excentricités et des inclinaisons des orbites. Mais j'ai reconnu que les valeurs de N^'\ 1S^'\ etc. du n° 7 du sixième livre, avaient été prises avec un signe contraire, et qu'ainsi la partie de ces inégalités dépendante de ces valeurs doit changer de signe. 11 faut donc ajouter aux expressions des longitudes moyennes, que j'ai données dans le huitième chapitre du dixième livre, le double de cette partie prise avec un signe contraire. Cette partie pour Jupiter est par le n** 33 du sixième livre,
(38",69257i — f.o",oo54i8). sin. [bnt — 27i"^f-f-5e'^ — 2e")
— (2 ô^oGdyo 1 -h t. o^o 1 807 6). COS. [Snt — 2 7i'7-}- ôe*^ — 2 e"') ;
et pour Saturne, elle est, par le n** 35 du même livre,
— (89',95244o — t. o",oi2 596).sin. [Snt — 2n"^M-5e'^ — 2^"^) -i-(58",2 7o353 -f-^ o\o35o48). cos. (571*^* — 27i"^f-h5e'^ — 2e"^).
L'addition aux longitudes moyennes de Jupiter et de Saturne, du double de ces inégalités prises avec un signe contraire, ne doit changer que les moyens mouvements et les époques de ces deux planètes : elle ne peut altérer que d'une manière insensible les autres éléments elliptiques conclus des observations faites depuis 1760 jusqu'en 1800; parce que dans cet intervalle les variations de ces inégalités sont à fort peu près proportionnelles aux temps : on peut donc déterminer les corrections des moyens mouvements de manière qu elles rendent le double de ces inégalités affectées d'un signe contraire, nul en 1760 où t est nul, et en 1800 où t=bo. On trouve ainsi, en ayant égard à la correction de la masse de Saturne, trouvée dans le chapitre viii du livre X,
qu'il faut ajouter à la longitude moyenne 9"^ de Jupiter, donnée dans le même chapitre, la fonction
— (73",58 -f. o^olo3o).sin. [bnt — an'^t-f-ôe'^ — 2e") -t- (47\65 -h f. 0^02870). COS. (57i''f — 27i"'f-f-5e'' — 2e");
et à la longitude moyenne 9*^ de Saturne, donnée dans le même chapitre, la fonction
-f-(i79',952 — f. o\o25i92).sin. [5nt — 27i"^f-t-5e'' — 2e")
— (11 6",54 1 H- 1. o\o70 1 96) . COS. (571*^^ — 27i"'< -h 5e'' — 2 e") .
Ces corrections ont Tavantage de rapprocher les formules des mouvements de Jupiter et de Saturne, données dans le chapitre cité, d'une observation très-précieuse d'Ebn-Junis, et qui, réduite au méridien de Paris, eut lieu le 3i octobre 1007, à oJ,i6. Les formules citées donnent 2 25i'' pour l'excès de la longitude géocentrique de Saturne sur celle de Jupiter à cet instant, et l'astronome arabe la trouva par son observation, de 4444"; la différence est 2193"; mais les corrections précédentes augmentent de 1198" l'excès de la longitude de Jupiter sur celle de Saturne, et rapprochent conséquemment de cette quantité les formules de l'observation, qui n'en diffère plus que de 995", ou d'environ cinq minutes sexagésimales; ce qui est bien inférieur à l'erreur dont cette observation est susceptible.
