TOME III
enfin le terme correspondant de (] sera
2m'n.ak
[i'n— in). s\n, y. \/i— e'
\g"+[in+g)sin\\y. j.cos. [int—int+ie—ie—g^—g^'-^g^'
Ces résultats sont conformes à ceux que Ton a trouvés dans le chapitre viii du second livre de la Mécanique céleste; mais ils ont sur eux l'avantage de s'étendre à toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons.
On aura les variations séculaires des éléments de l'orbite de m, en réduisant iî à sa partie non périodique, que nous désignerons par m F. Alors àR est nul, ainsi que da, et l'on a
i~c> , ^JdF\
fe=-'"°''""V'-f.(j£V
e \de 1 ,^ am'ndt.\J\-e' . , -. [dF\ . (dF\ , ,
, am'ndt /dF\
j am'ndt /dF\
ou
j am'ndt . /dF\
On peut observer ici que R étant égal à
{xx'+yy+zz') m'
il est, aux quantités près de Tordre rn\ égal à
, [x.ddx+y.ddy'-i- z.ddz) m
sa partie non périodique ne dépend donc que de la partie non
périodique de ; F est donc égal à la partie non périodique
de , développé en série de cosinus d^angles croissants proportionnellement au temps t; en sorte qu'il est le même pour les deux planètes. En faisant varier dans F les éléments de l'orbite de m, et substituant pour Se, ha, hp, hq, leurs valeurs données par les intégrales des équations différentielles précédentes , on voit que SF se réduit à zéro; et la même égalité a lieu relativement aux éléments de l'orbite de m ; ce que j'ai démontré dans le n*" 5 du sixième livre de la Mécanique céleste, en ne portant l'approximation que jusqu'aux termes de l'ordre des quatrièmes puissances des excentricités exclusivement.
On a par ce qui précède,
Sê = — g-sin-y, SB'= r
sm. 7
Supposons que h^ et Zff croissent respectivement des quantités de et dB' ; on aura
(/€ = — c?g. sin.y, dB'=^ r-^;
substituant pour dp et dq leurs valeurs, on aura
On a
(dF\ (dF\ (d£\ \de')~ [d-Bj \d«')'
parce que F étant développé en cosinus de la forme H.cos.{<^'a-\-g''rs'-h2g"d')y la somme g-^-g'-\-^g' des coe£Bcients des angles ts, fs et 0' doit être nulle, pour que ce terme soit indépendant de l'origine arbitraire de ces angles. On a donc
et par conséquent on a, en vertu des expressions précédentes de de et de de,
rfy.sin.y ede e'de' amn.ede
cos.y i-(?» i-e« am'n.cos.y.\A^=7^.v/^^'
am n.e de
a'mn'.cos.y.\/i — ^*.\/i — e'*
En multipliant cette équation par cos. y. y/i — e\\j i — /*, et intégrant, on aura
3 COS. y. y 1 — e\\/ 1 — e *= const. ^.(i— e*) ^. (i— ^'').
Faisons pour abréger
nous aurons
^— 2mmyf '
c* étant une constante arbitraire, indépendante des éléments. La valeur précédente de dd' exprime le mouvement de l'inter-
section des deux orbites, produit par l'action de nî et rapporté à l'orbite de m. Concevons un plan intermédiaire entre ceux des deux orbites, et qui passe par leur intersection mutuelle. Nommons ^ l'inclinaison de l'orbite de m à ce plan. Pour avoir le mouvement différentiel du nœud de l'orbite de m sur ce plan, produit par l'action de m, il faut multiplier la valeur précédente
de dB' par . '^ . En nommant donc dQ ce mouvement, on aura
^ sm. <p
jf. mât sin. y
au = p- . — — -
y sm. (p
En nommant <^' finclinaîson de l'orbite de m sur le même plan, on aura ^ -h 9'=y, et
mât sin. 7 fdF
d'd étant le mouvement du nœud de l'orbite de m! sur ce plan, et produit par l'action de m sur m. Les deux mouvements dd et d'6 seront égaux, et l'intersection des deux orbites restera sur le plan que nous venons de considérer, s'il partage l'angle y de l'inclinaison mutuelle des orbites, de manière que l'on ait
mf. sin. (^ = mf. sin. ^'-
Ce résultat est le même que l'on a trouvé dans le n** 62 du second livre de la Mécanique céleste, où l'on voit que le plan dont il s'agit est celui du maximum des aires, et que Ton a
c = mf. COS. (^ -h- m!f. cos. ^'.
Cette équation combinée avec la précédente donne l'intégrale trouvée ci-dessus,
•immJJ
Ces deux équations donnent encore les suivantes :
^ m f. sin. y • /^' ^ /• sin. y
sin. ^= — ^ -, sin. (p = ~^^ ^,
cos.(p= \ir ^ , COS. 9 = J,, -f ,
Désignons par tar, et «', les distances des périhélies de m et de m', à la ligne d'intersection mutuelle des orbites; on aura dm^ en retranchant de la di£Férentielle (/«, le mouvement dO de cette intersection rapporté à l'orbite de m; et il est visible qu'il suffit pour cela de le multiplier par cos. <p; or on a
on aura donc
ede= am'ndt. \/i — ^"•(77^) î on aura pareillement
ede = a m ndt y 1 — e\ i j—, ) .
F est fonction de a, a, e, e\ tsT^, tsr/ et ê : si l'on élimine des seconds membres de ces équations, € au moyen de sa valeur
^— 2mm' ff ' on aura quatre équations différentielles entre les quatre variables
e, e\ tsTi et lar/. On pourra même leur donner une forme plus simple encore, en faisant
h = e. sin. ^^, l = e . cos. ©j,
h = e . sin. 'CTi , ( = e . cos. t«T, ,
ce qui les rend linéaires , lorsque Ton néglige les puissances supérieures des excentricités, et ce qui facilite leur intégration, étendue par approximation à des puissances quelconques des excentricités. On D*aura ainsi que la position des orbites relative à la position variable de la ligne de leur intersection mutuelle. On aura ensuite leur inclinaison respective, au moyen de la valeur précédente de ê, et l'on en conclura leurs inclinaisons sur le plan du maximum des aires, au moyen des valeurs précédentes de sin. (p et de sin. ^'. Enfin on aura le mouvement de l'intersection des deux orbites sur ce plan, en intégrant l'expression précédente de dd. Telle est, si je ne me trompe, la solution la plus générale et la plus simple du problème des variations séculaires des éléments des orbites planétaires.
Reprenons l'équation
c.:^(m/-t-m/)«-2mmy/.ê.
Si l'on né^ige les quantités de l'ordre des quatrièmes puissances des excentricités et des inclinaisons, elle donnera
/— , I n f. imm'\/aà'. S
const. =:7uya.^ -hm \a.e^-\ ^ — — ;
m\fa+m'\fa'
ainsi a et a étant, par ce qui précède, constants même en ayant égard au carré de la force perturbatrice, on aura
o=zmya.eèe-\-myJa.ehe-\ -^ ^;
m\a + m'Ya/
équation à laquelle je suis parvenu dans le n*" 5 du sixième livre, en n'ayant égard qu'aux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne. Il en résulte que le plan invariable déterminé dans le n** 62 du second livre reste invariable , en ayant même égard au carré de la force perturbatrice.
4. On peut, au moyen des expressions di£Pérentielles des éléments, déterminer d'une manière fort simple l'influence de la figure de la terre sur les mouvements dé la lune. On a vu dans le second chapitre du septième livre que cette action ajoute à la valeur de R la fonction
ap est l'aplatissement de la terre; a(p est le rapport de la force centrifuge, à la pesanteur, à l'équateur; D est le rayon moyen du sphéroïde terrestre; et ft est le sinus de la déclinaison de la lune, sinus qui par le numéro cité est à fort peu près
jx=\/ir^^^. sin. X. sin./v -t-5. cos X,
ou exactement
sin. X. sin. fv+s.cos. X f*= 1±= .
fv étant la longitude vraie de la lune , comptée de l'équinoxe du printemps, X étant l'obliquité de l'écliptique, et 5 étant la tangente de la latitude de la lune.
La partie de R dépendante de l'action du soleil est de la forme r* Q, en négligeant les termes qui , dépendant de la parallaxe du soleil, sont très-petits. On aura ainsi à fort peu près
jR=:r'Q+ (ap —\oL(p] . -7 . (sin*. X. $in\ fv+2S. sin. X. cos. X. sin./v) ;
Ne considérons ici que les inégalités dépendantes de Tangle g^—fo^gv étant ce que l'on nomme Y argument de latitude; en sorte que Ton a à fort peu près s=y.sm.gv, y étant Tinclinaison de Torbe lunaire à Técliptique. On aura ainsi
R=r^Q'\'[%p — Ya(^).-y.sin.X.cos.X.y.cos.(9V — fu), 2aM--7— j=:4a.r*Q— 6 (ap— ya^).— j.sin. X. cos.X.y. cos.{g\j—fu).
On a vu dans le n*" 1 que la variation de dR est nulle, en ayant même égard au carré de la force perturbatrice ; le coefficient de cos.[gv—fv) dans R doit donc être nul. Désignons par la caractéristique 5 placé devant une fonction, la partie de cette fonction qui dépend de Taplalissement de la terre; nous aurons
o=5.r*QH-(ap — ya^).— ^-.sin.X. cos,X.y.cos.(5fv — fv); d'où l'on tire
2 5.aM^— 1= — lo. [ap — Ya(p).-Y.sin.X.cos.X.y.cos.(9V — fu).
Reprenons maintenant l'expression de tZe, du n** 1, , andt.yJi — e' , ,/ -. /dR\ , fdR\ .
Il est facile de voir que si l'on né^ige Texcentricité de l'orbite, on aura
de = '2a\ l-^\.ndt;
et par conséquent, en n'ayant égard qu'au cosinus de l'angle gv — fv, et substituant dv pour ndt, on aura
de= — io{ap — Ya(p).— 7.sin. X. cos.X.y.e/u.cos.^^v — fu).
