XI
o,oooooi5553 — 0,00000600 1 2 . COS. ( lit — 7i"f -f- e Jh-o,oooo 171431. COS. i[nt — nt-{-e '= ( 1 -h |x' ) . / -+-0 , 0000027072. cos.3(n'f — nt-hé -1-0,0000009358. cos.4(/i'< — nt-^e -}-o,oooooo4o86. cos.5( w'f — nt-h e -+-0,0000002008. cos.6(n'f — nt-{-é
-t-o,oooooo5487.cos. [n't — nt-^e"'
(1 -t-jx^^j-JH-o, 00000806 20. COS. 2 (w^'f — nt-he"'
— 0,000000647 5. cos.3(w"'f — nt-he"'
— 0,0000001 643. cos.4(/i'^t — nt-^-e"
-+-0,0000 169384. COS. (n"^f — nt-h-e' -(i-f-(x"^).< — 0,0000090986. cos.2(n'^f — nt-he" — o,oooooo655o. cos.3(w''^f — nt-he — 0,0000000704. cos.4(/i''^f — nt-i-e'
— o,ooooooo58o {i-+-(x').|-}-o,ooooo 10337. COS. [nt — nt-^e"^ — 0,0000003859. COS.2 ( nt — nt -+- e*^
ff\\
-ol
Inégalités dépendantes de la première puissance des excentricités.
0^,234290. sîn.(7i7-he' — 13^) 1^
— o\4oo233.sin.(2n'f — nt-^ 3e' — e'—'cr'') 0^448083. sin.(2n''f — 7i'f-h is" — e—^''] o\52i547.sin.(2n''f — nt-^^e"* — e'— tir) — ii\3 18247. sin.(3Ai"'f—2w'r-h3e— 28— w') 3\66i696.sin.(3n'f— 2?i'f^-3£'— 2 e— w'i 7^23l346.sin.(4/l't— 3/ï'ï-H4r— 3e— 10^) 2^2 29704. sin.{4/i''f — 3?i'ï-i-4ê'' — ^3e' — ts') o',6678o2.sin.{5/i^f— 4ni-H5£— 4e'
èv'= [i-^fi'Y
3",38i49o.s 6',5977ii.s o",269754-s;
(i+(jt'')./-f. 1^^,871601.8:
(m. If. . iff If if\ \
2nt — nfH-2e — e — ^) \
(m. Im t nf If fif\
211 t — n (-f-2e — e — tzT)
n.(3n'f— 27i'f-+-3e''— 2e'— tar")
n. (3n'^f— 3/i'7^-3e"— 2e"'— ^)) n.{^n"'t—3n"t^lie''—3e''—^'') n. [hn't — Snt-h-^e"' — 3e'' — 'ts"')
n. [STl't—^nt-hSe''—^e—^)
n f-+-e — 'CT j
(ir. ffx . '^ If If \
271 t — 7if-t-2e — e tST ]
(/F . n^ , iy If jy \
271 t — 7ifH-2e — e — 'cr )
/o ir. If 1. , O f^ If t^W
n. (071 t — 27ifH-oe — 2e — « )\
(n. tr, , If IV ff\
2nt — n f-f-2e — e — tsi J
(n. IV . , n f^ IV \
int — 71 fH-2e — e — tar )
n t-he — 'cr j )
(V, If., y ff n \t ^
int — 7ifH-2e — e — tar j)
-o,ooooo3o439.co8.(37i"f— 27i'f+3e''— 2e'--W)j
hr= (i+(x').| — o,ooooo498i5.co8.(47i"f— 37i7+4e''— 3e'— «'')'
[-ho,oooooi5895.co8.(47i''f— 37i7+4e''— 3e'— «' )]
(— o,ooooo3o4 1 o. C08. (271"^/— 71"^+ 2 e"^— e"— 'cy*')
+ (l + (x"^).|+0,000001 2662. COS. (27l'''f— 7i''f+2e'^— e"— «") ,
Inégalités dépendantes des carrés et des produits des excentricités, et des inclinaisons des orbites.
= (i+fi').3\473997.8in.(57i"f-37i'f + 5e-3e'+23%3759)
, «rv j 3\o67702.8in.(47i''f-27i"f+4£ -2e''+75%35o6)) + li+f^ JLi;o85790.8in.(57i'^f-37i'<+5e'^--3e''+76%o2i4)
En vertu des rapports qui existent entre les moyens mouvements de Vénus, la Terre et Mars, 5n — 3», et ^n — 2n, sont de petits coefficients; en sorte que, par le n** 3, les deux premières de ces inégalités sont les seules de cet ordre qui doivent être sensibles. On a cependant calculé la troisième , parce que 3n — bn" n étant à peu près que la moitié de n, il était utile de s'assurer que cette inégalité n acquiert par cette considération qu'une valeur très-peu sensible.
Inégalités dépendantes du cube et des produits de trois dimensions , des excentricités et des inclinaisons des orbites.
Sv'=(l-t-(l,).o^2l5787.sin. (/i( — ^nt'+-e — 4e'-4-2i%i52 2).
Inégalités périodiques du mouvement de la Terre en latitude. On a trouvé par les formules du n° 51 du second livre
^'■^f^^i-Ho\723oi2.sin.(4/i''f— 3»'(-+-4e — 3e'— 0')j -f-{n-fi").o^5o8343.sin.(Q/l"f— /i'«-4-2e"— e*^— r).
Inégalités de la Terre dépendantes de l'action de la Lune.
30. Si l'on nomme U la longitude de la lune vue du centre de la terre, et v" la longitude de la terre vue du centre du soleil; si Ton nomme encore R le rayon vecteur de la lune, et r, celui de la terre; enfin, si Ton désigne par m et M les masses de la lune et de la terre, et par s la latitude de la lune; on a vu dans le chapitre IV que rinégalité du mouvement de la terre en longitude, produite par Faction de la lune, est
— -jr^. jR. sin. ( U — v").
L'inégalité du rayon vecteur de la terre est
m R ijr tt\
— jfy'<^os.{U—v );
et l'inégalité du mouvement de la terre en latitude est
m 1' ^ ni
Il faut, pour plus d'exactitude, substituer ^ au lieu de -r^,
dans les expressions de ces trois inégalités.
Nous supposerons, conformément aux phénomènes des marées (livre IV, n°'31 et 35),
fi »
S étant la masse du soleil. Or on a par la théorie des forces centrales
—Rr'=K> yi = ^^
nt étant le moyen mouvement de la lune; on a donc
Suivant les observations, — = 0,0748018; ce qui donne
M+m 59,6' et par conséquent
Nous supposerons ensuite la parallaxe horizontale du soleil égale
à 27',:^, et la parallaxe moyenne horizontale de la lune égale à 10661''; d*où Ton tire
7~ 10661' et conséquemment,
âv"= — 2 7\2 52 4.sin. [U — v"),
âr = — 0,000042808. COS. [U — v").
En prenant ensuite pour s la plus grande inégalité de la lune en latitude, que nous supposerons égale à 572 3i\sin. (f/— 0), U—O étant la distance de la lune à son nœud ascendant; on aura
— 2^4499. sin. {^ — ^)
pour rinégalité du mouvement de la terre en latitude : il faut l'ajouter à la valeur précédente de S/, pour avoir la valeur entière de Ss\ Cette valeur entière, prise avec un signe contraire, donne les inégalités du mouvement apparent du soleil en latitude. Elle influe sur l'obliquité de Técliptique, conclue de l'observation des hauteurs du soleil vers les solstices : elle influe encore sur le moment de l'équinoxe, conclu des observations du soleil vers les équinoxes, et sur l'ascension droite et la déclinaison des étoiles, déterminées par leur comparaison avec le soleil. Vu la précision des observations modernes, il est nécessaire d'y avoir égard. Il est facile de voir que la déclinaison apparente du soleil en est augmentée de la quantité
Ss\ COS. (obliquité de Técliptique) COS. (déclinaison du soleil) '
et que son ascension droite apparente en est augmentée de la <]uantité
fj'.sin. (obliquité d e récliptique). cos. (ascension droite du soleil) cos. (déclinaison du soleil)
il faut donc diminuer de ces quantités les déclinaisons et les ascensions droites observées du soleil, pour avoir celles qu'on observerait, si la terre ne quittait point le plan de l'écliptique.
Des variations séculaires de Torbe terrestre, de Féquateur et de la longueur
de Tannée.
31. Nous avons donné dans le n° 26 les variations séculaires des éléments de l'orbe terrestre; mais l'influence de ces variations sur les phénomènes les plus importants de l'astronomie nous engage à les déterminer avec plus de précision, en ayant égard au carré du temps, t exprimant un nombre quelconque d'années juliennes écoulées depuis 1760, on a trouvé, par la méthode du n° 56 du second livre, et en adoptant les valeurs des masses des planètes données dans le n^ 21, le coefficient de l'équation du centre de l'orbite terrestre égal à
2E — f. o",579i3o — f*. o",oooo207446;
2E étant ce coefficient au commencement de 1760, où t est nul. On a trouvé pareillement la longitude sidérale du périhélie de l'orbe terrestre égale à
'cyVf.36',88i443-4-r.o\ooo2454382.
Enfin , les valeurs de p" et de q" pour un temps quelconque t, ont été trouvées respectivement égales à
f. 0^,236793 -t-f*.o",oooo665275, — t. i\546i56-j-f*. o\oooo2o8253.
Nous avons présenté dans les n°' 6 et 7 du cinquième livre les formules de la précession des équinoxes et de l'inclinaison de l'équateur, soit à une écliptique fixe, soit à l'écliptique vraie; mais ces formules supposent que la valeur de p" est sous la forme
S.c.sin. [gt-hë), et que (j" est sous la forme S.ccos. [gt-hS). On a vu dans le n® 59 du second livre que les expressions finies de p" et de q'' se présentent sous ces formes, et l'on peut déterminer, par la méthode exposée dans le n"* 56 du même livre, les valeurs de c, ^, ê, etc. mais cela suppose les masses des planètes exactement connues, et Ton a vu l'incertitude qui existe encore à cet égard. Ainsi, au lieu de faire le calcul pénible que cette méthode exige, il est préférable de le simplifier, en n'étendant les résultats qu'à mille ou douze cents ans avant et après l'époque de lySo; ce qui suffit aux besoins de l'astronomie. On pourra facilement recommencer ces calculs à mesure que le développement des variations séculaires fera mieux connaître les masses des planètes. Donnons aux valeurs de p" et de g" les formes suivantes comprises dans celles-ci, S. c. sin. (^f-i- ê), 2.C.C0S. (flft-l-ê),
c.sin.ê — c.cos. ê. sin.^f — c. sin.ê.sin.(^'f-+--| , C.C0S.6 — c. COS. ê. cos.gt — c.sin.ê. cos.lgt-\ — J ,
ir étant la demi-circonférence dont le rayon est l'unité. Si l'on développe ces deux fonctions par rapport aux puissances du temps t, on aura, en les comparant aux séries précédentes,
c g. COS. ê= — o^îSôygS , cg. sîn.ê= — i\546i56, cg*. COS. ê = o%oooo4 1 65o6 , cg*. sin. ê = o^ooo 1 33o55o ;
d'où il est facile de conclure
c. sin. €=17967^0 , c. COS. ê=i346\2i.
Maintenant, on a vu dans le n*" 6 du cinquième livre que la pré-
cession >|/ des équinoxes par rapport à Técliptique fixe de 1760 est, en ne considérant que les variations séculaires,
It-^l
Ij — 1 j.tang. A-+-cot. A .-y-.sin. (/f-4-ê).
Pour avoir S.c.sin. {/f-+-ê), il faut, par le n*" 5 du même livre, augmenter dans S.c.sin,{9f-hê), Tan^e gt-^-è, de It, ce qui donne f=g-{'l; on aura ainsi
S. c.sin. (/f-+-ê) = c.sin. (/f-hë) — c. cos. ê. sin. (^f-4-/f)
— c. sin. ê. sinAgî-i-lt-h -J; par conséquent ,
>|/= /ï+?+c. cot. /t.sin. (/f+ê)~T— .c.cos.ê.jcot. ^— 7-^
— , . , .c.sm.6.
coi. h — T^|-T.tang. hLsin.lgt+lt+ -ï.
En nommant ensuite V l'inclinaison de Téquateur à Técliptique fixe de 1760, on aura, par le n"* 6 du cinquième livre,
F=/i— S.y.cos.(/f-4-ê).
Pour avoir S.c. cos. (/'H-ê), il faut, par le n° 5 du même livre, augmenter dans S.c. cos. (^ï-f-ê), Tangle^f-f-ê, de It; on aura ainsi
S. c. cos. {y«-f-ê) =c. COS. (/f-hê) — c. COS. ê.cos. [gt-^-lt)
— c.sin. ê.cos.(^'t-l-Zf-4--|; Partant ,
V=h — c.cos. (/f-hê)H î-.c.cos. ê.cos. (^f-H/()
H — r-T-'C.sin.ê.cos.l^'t-h/fH — I.
>|/' expiimant la précession des éqiiinoxes par rapport à Técliptique vraie, et F étant Tinclinaison de Téquateur à cette écliptique, on trouvera, par le n*" 7 du cinquième livre,
t^'=lt+^+'T^ — . c. COS. S. cot. h+ j . tang. AJ. sin. [gt+lt)
+ ,f / . c. sin. ê.jcot. A + -T— 7. tang, h\. sin.|^'f + lt+-\ ,
V = h~r^, c.cos.ë. COS. [gt+lt)— .^ , .c.cos.ê. cos-f^'f+Zf+H. L'expression de >f/' donne
dt
= l+cg. cos.ê. cot/t+ -j . tang. A|. COS. [gt+lt)
+cg. sin. ê.jcot. h+ . , . tang. h\. cos. {gt+lt+ -|.
En retranchant de cette valeur de -t— , lorsque t est nul, sa valeur à une autre époque, la différence réduite en temps, en raison de la circonférence pour une année tropique, donnera faccroissement de Tannée tropique depuis 1 760. On voit par cette formule, et par la diflFérentiation de l'expression générale de \|/' donnée dans le n^ 7 du cinquième livre, que l'action du soleil et de la lune change considérablement la loi de la variation de la longueur de l'année. Dans les hypothèses les plus vraisemblables sur les masses des planètes, l'étendue entière de cette variation, ainsi que retendue entière de la variation de l'obliquité de l'écliptique à Féquateur, sont réduites à peu près au quart de la valeur qu elles auraient sans cette action.
Suivant les observations, on a, en 1 760, -t— = 1 54\63; mais par ce qui précède on a à cette époque
k -TT-=/-t-c^. COS. ê.jcot. Ah- t—. tang. a
on a donc
l-hcg. COS. ê.jcot. h -h j—. tang. h\ = 1 5A',63 ;
équation dans laquelle on peut, en négligeant le carré de c, substituer pour h l'obliquité de Técliptique à l'équateur en i yôo. Cette obliquité^ suivant les observations, était ^ors égale à aô'^^oygô; d où l'on tire
On a ensuite, en 1760,
V=h — 7-2—, c. COS. ê; 1+9
Au moyen de ces valeurs, on trouve
>|/ = M55',5A2+2%92883+42ii8',3.sin.(f.i55',542+95%2389) — 7 1289^2. cos.(f.i oo\757)—i 6621^1. sin.(^43^56 A),
K = 26%o796-346o',3~i8oi7",4.cos.(f.i55\542+95%2389) + 48o6\5.cos. (t. 43\56A) — 2 7736\3.sin. (f. 100^757),
>|/ = m55",5A2 + 2%92883-29288\3.cos.(moo',757)
— i3374'»2.sin. (f. A3^564),
r=26%o796-346o\3.ii-cos.(f.A3\564)} — 9769^2.sin. (f.ioo'',757).
On pourra, par ces expressions, déterminer la précession des équinoxes et l'obliquité de l'écliptique, dans l'intervalle de mille ou douze cents ans avant et après l'époque de 1760, en observant de faire t négatif pour les temps antérieurs à cette époque : on pourra même les étendre aux observations d'Hipparque, vu leur imperfection.
La valeur précédente de \|/' donne pour l'accroissement de Tannée tropique, à partir de lySo,
— oi^"",oooo83569.|i— cos.(t43',564)}
— oi^'^^^oooAa Sa 7. sin. [t. 1 oo",7 67 ) ;
d'où il suit quau temps d'Hipparque, ou cent vingt-huit ans avant l'ère chrétienne, Tannée tropique était de 1 2^,326 plus longue qu'en 1760; Tobliquité de Técliptique était plus grande alors de 2 83 2^,2 7.
Une époque astronomique remarquable est celle où le grand axe de Torbe terrestre coïncidait avec la ligne des équinoxes; car alors Téquinoxe vrai et Téquinoxe moyen étaient réunis. Je trouve par les formules précédentes que ce phénomène a eu lieu vers Tan ^ooA avant Tère chrétienne, époque où la plupart de nos chronologistes placent la création du monde, et qui, sous ce point de vue, peut être considérée comme une époque astronomique. En effet, on a pour ce temps, t= — 6764; et Texpression précédente de ^|/' donne
c'est la longitude de Téquinoxe fixe de 1760, par rapport à Téquinoxe d'alors. L'expression précédente de "cs" donne pour la longitude du périgée de Torbe terrestre, ou de Tapogée solaire, comptée de Téquinoxe fixe de i75o,
Cette longitude, par rapport à Téquinoxe de Tannée 4oo4 avant Tère chrétienne, était donc 1*^,3 170; d'où il suit que Tinstant où la longitude de Tapogée solaire, comptée de Téquinoxe mobile, était nulle, précède d'environ soixante-neuf ans Tépoque où Ton fixe la création du monde. Cette différence paraîtra bien petite,
