CHAPITRE XV

DE QUELQUES ÉQUATIONS DE CONDITION QUI EXISTENT ENTRE LES INEGALITES PLANÉTAIRES, ET QUI PEUVENT SERVIR X LES VÉRIFIER.

39. Les inégalités à longues périodes, produites par les perturbations réciproques de deux planètes m et m', sont à peu près, par le n* 65 du second livre, dans le rapport de m'.sja à — m. \fa; en sorte que pour avoir les perturbations de ce genre, correspondantes, dans le mouvement de m^ à celles du mouvement de m,

il suflBt de multiplier celles-ci par ^-^^. Ce résultat est

d'autant plus exact, qu en vertu du rapport qui existe entre les moyens mouvements des deux planètes, la période de ces inégalités est plus grande par rapport aux durées de leurs révolutions. Nous allons, au moyen de ce théorème, vérifier plusieurs des inégalités précédentes.

L'action de la Terre sur Vénus produit, par le n** 28, dans le mouvement de Vénus, les deux inégalités dont la période est d'environ quatre années,

— 4',78256i .sin.(3/i''f— 2nf-4-3e'— 2e'— tsj) -t-i4',7i0902.sin.(3/i''f — 2/i'fH-3e'' — 2e' — m").

En les multipliant par — '^ — , on a pour les inégalités correspondantes de la terre

3',4995 . sin. (3n'f — 2 n'f + 3 e'— 2 ©'— 'o' ) — io',7644.sin.{3n'f — 2n'f-f-3e' — 2e' — -or').

TOMB UI. a

Le calcul direct a donné, par le n"" 29, pour ces inégalités,

3\66i6Q6.sin.{3nt~2nt-h^e—7e—^') -ii",3i8247.sin.(37i''f— 2/17-4-36"— 2e'— «');

ce qui dilTère peu des inégalités précédentes.

L'action de la Terre sur Vénus produit encore, par le n** 28, rinégalité suivante, dont la période est d'environ huit ans,

-4\645i72.sin.(5/i''f— 3/i7+5e'— 3e'-+-23%23o2).

En la multipliant par ~7= » ^^ * P^"^ l'inégalité corres-

pondante de la Terre,

3\399ooa.sin.{5w''f — 3«f'-h5e" — 3e'-f-2 3%23o2); et le calcul direct a donné, par le n° 29,

3\473997.sin.(5ji''f— 37i'(-+-5e''— 3e'-+-23%3769).

Mars éprouve, par l'action de Vénus, comme on l'a vu dans le n"* 32 , l'inégalité à longue période

— 2i\295i2i.sin.(3/i''f— /i'f-+-3e''- e'-+-72%7o83).

En la multipliant par ^^^ , on a

6",4i44.sin.(3n'*t— n'f-h3e"— e'-h72»,7o83).

Le calcul direct donne, par le n° 28,

6",2027o6.sin.(3n"'f— n'f-hSe"— e'-f-73",2o63);

ce qui difiére peu de l'inégalité précédente.

Mars éprouve, par le n° 32, de la part de la Terre, les deux inégalités suivantes, dont la période est d'environ seiee ans,

—3i*,2 18207. 8in.(2n''f—n"'f-i-2e"—e''—'nf") -h 1 6',8 1 1 9 2 o . sin. (2 «"f — «"t-h a e"— e'— ts' ) .

m'W^aT

En les multipliant par '-^!—r , on a pour les inégalités cor-

respondantes de la Terre,

6\88o7.sin.(2/i"f— w"f-f-2e'— e''— 'Of'')

— 3",485i.sin.(27i"f— /i"t-+-2e"— e"— 13").

Le calcul direct donne, par le n"^ 29,

6\5977i \.s\ii.['int — nt-\-iç!^ — e" — ^) — 3\38i490.sin.(2ii''f— n"fH-ac^~e'— «");

ce qui diflFère peu des précédentes.

Mars éprouve encore de la part de la Terre, par le n° 32, rinégalité à longue période

— i3\49o44i.sin.(4/i"«— 2n't-+-4e"— 2c'-h75%35i8).

En la multipliant par -^ — , on a pour l'inégalité correspondante de la Terre

2\9734.sin.(4n''f— 27i'^f-4-4e"— 2eV75%35i8); ce qui difiFère peu de l'inégalité

3>67702.sin.(4/i"ï— 27i"i-4-4e"'— 2e'-h75%35o6),

trouvée dans le n^ 29.

Les deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne sont en*core à peu près l'une à l'autre, dans le rapport de —m^Y/a'^, à nT.SJd^^ comme il est facile de s'en convaincre.

Enfin Uranus éprouve de la part de Saturne, par le n'' 37, l'inégalité à longue période

— 4o8',978ooi.sin.(3/i"f— /i7-H3e''— e'— 98%i3i3).

m'\\lar

En la multipliant par ^' ^ , on a dans le mouvement de

Saturne l'inégalité

99\9oo.sin.(3n''f— /l'f^-3e' — e'— 98%i3i3);

ce qui difiFère peu de l'inégalité

95\334222.sin.(3n"(— n'f-4-3e"— e'— 97%i3i9),

donnée dans le n"" 35.

40. Considérons dans le développement de R le terme de la forme

m. M^'^ ee. cos.{i{n f — nf-h e' — e) -f- antn- 2e — « — ^' \ ;

et supposons que i [vî — n) -h an soit fort petit par rapport à n et à n; ce terme produira par le n** 69 du second livre, dans l'excentricité e de l'orbite de la planète m, considérée comme une ellipse variable, l'inégalité

.. ; \ . . M^*^e^cos.|l(ll'f--wf + e-e) + Qnt+2C--«-■«T'|;

et dans la position ^ du périhélie, l'inégalité

— ./ ^^'^^ — . ^(o.£-,sin.ii(nf—/if+e'--e) + 27it+2e— «—«'{. i(n— n) + 2ii e ^ ^ ' '

Nommons Se la première de ces inégalités, et Stsr la seconde. L'expression de t; contient le terme 2e. sin.(nfH-e — isy),etpar conséquent l'inégalité