e.sin.(7i(-he — tsy) — 2 e. 5'BTcos.(nf-f-e — tar

ce qui donne dans t; l'inégalité

.i'H^'T, .M<'U\sin.{(i— i)(/i^t— nf-4-e^— e)-^ii^f-+-e^— igl>

Il résuite du n"" 65 du second livre, que dans le cas de i {n—n)+2n très-petit, Texpression de R relative à l'action de m sur m' renferme encore à très-peu près le terme

mM^'Kee.co8.\i [rît — /if-+-e' — e)H-27if-+-2e — ^ — «'},

puisqu en n ayant égard qu aux deux termes de ce genre dans R et R, on a par le numéro cité, à très-peu près,

m.fàR-\-rn!.fàlR=o.

On a donc dans v l'inégalité

., / \ . .M^'Ke.sinAilrît — nt-+-e' — e)-}-nt-he — tari.

Ces deux inégalités de v et de v sont dans le rapport de m', e. \/a , à m.e. \/a; en sorte que la seconde se conclut de la première, en

multipliant le coefficient de celle-ci par — ^-^ . — .

bn — Zn étant peu considérable par rapport à rî et même à n, on a dans v, en supposant i=5, une inégalité dépendante de l'argument bnt — ^711-+-^^" — ke — ^; et dans v, une inégalité dépendante de l'argument kvît — int-\-ke — 3e' — tar'. La première de ces inégalités est, par le n'' 28,

6',7794o5.sin.(5?i''t — 4/i'fH-5e'' — ke — "cs").

^ En multipliant son coefficient par — ' ^ . —, on a pour la Terre Imégalité

2',o3io.sin.(4/i'f— 37i'f-i-4e'— 3e'— tar).

Le calcul direct donne, par le n'' 29, l'inégalité

i\i2^']ok.sm.[knt — SnV-hAe" — 3e' — 'cr'); ce qui diffère peu de la précédente.

174 MÉGANIQUE CÉLESTE.

Pareillement, kv^ — ^/i" est assez petit relativement à n\ et même à n. En supposant i = 4» on a dans / une inégalité dépendante de Targument knt—Znt'^-ke'—Zz'~-^;eïàdJïsv, une inégalité dépendante de l'argument Znt — 2?i''fH-3e'^ — 2 e" — ^'. La première de ces inégalités est, par le n"" 29,

2",49io8a.sin.(Kf— 37i'f-f-4e"— 3e'— «").

En multipliant son coefficient par — ' ^ . — , on a pour Mars

Imégaiité

2 ,0410. sm. (371 1 — in f-+-3e — 2e — « ).

Le calcul direct donne, par le n"* 32,

2",6iii23.sin.(3n''(— 27i't-h3e''— 2e*— «"):

la différence est dans les limites de celle que Ton peut supposer, d'après le rapport de kn"' — in\ à n, qui est à peu près celui de 1 à 4.

41. Il résulte encore du n® 71 du second livre, que si ?(n' — n) -h2n est très-petit par rapport à ri, l'inégalité de m en latitude, dépendante de [i — 1) {jît — nf-he' — e)~hnf-4-e', est à l'inégalité de m', en latitude, dépendante de (i— 1) (wf— /if-i-s'— e) -hnf-t-e, dans le rapport de m.\fcî à — m.sja.

En supposant i = 5, on a, par le n"" 28, dans le mouvement de Vénus en latitude, l'inégalité

— o\^QkQib.sm.[bnt—knt^be—ke—B').

En multipliant son coefficient par ' ^ , on a, dans le mou-

vement de la Terre en latitude, l'inégalité

o",7o5835.sin.(47i"'f— 3/i'f-f-4e— 3e — 0').

Le calcul direct donne par le n° 29 l'inégalité

o^723o i'^.sin.[^nt — 3nt'-h^e'' — 3e' — 6') ;

ce qui diflFère peu de la précédente.

3n' — n est peu considérable par rapport à n'; en faisant donc 1 = 3, on a dans 8$" une inégalité dépendante de 3n't — 2nt H- 3e'' — 2e', et dans 5/', une inégalité dépendante de 2n't — nt -f- ae" — e^La première de ces inégalités est, par le n*" 36,

2',o46267.sin.(37i"f— 27i''f-H3e"— 2e'— n"),

31"' étant la longitude du nœud ascendant de Torbite d'Uranus sur celle de Saturne. En multipliant le coefficient de cette inégalité par '-^ — , on a dans 5^"' l'inégalité

— 8',3772.8in.(2ii"f— n"fH-2e"— e'— n"');

et par le n"" 38, cette inégalité est

— 9^ol5592. sin.(2n"f — 7i"f -+- 2 e"^' — e'— II") ;

ce qui diffère peu de la précédente.

42. Il suit du n** 69 du second livre, que iV — in étant supjposé très-petit relativement à 71 et à n\ si l'on représente par

mfi. P. sin.(iVt — int H- l'e' — le) -h m. P. cos. [ïnt — int -f- i'e — i e )

ia partie du développement de R qui dépend de l'angle int — int — hiV — le; il en résulte dans hv l'inégalité

, i (-7—). COS. (ïnt — int-hïe — ie — nt — e -+•«)] 2m .an I \de ) ^ '\

I — (^j.sm. [int — int-^i e — le — nt — e-h«j|

et dans 8v, Tinégalité

^-T).cos.(i7it — mf-hie — le — nt — e-i-tar ji

i'n — 171 '1 (dP\ • 1-, I • V / • / / /\(

1 — (^-T).sin.(i7if — int-\-ie — le — nt — e-f-isT )\

Il suit encore du n** 71 du second livre, que les mêmes termes de R donnent dans hs Tinégalité

i ( rf~)' ^^' ^^^^ — int-^-ïe — le — nt — e -f- Il )i

m .an

in — in'\ (dP\ • t-i ! • •/ / • „\(*

/ — ( j— )• sm. [int — mf -t- 1 e — le — nt — e -+- H )j

y étant la tangente de l'inclinaison respective des orbites de m et de m', et II étant la longitude du nœud ascendant de Torbite de m sur celle de m.

Si l'on augmente l'argument de l'inégalité de Sr, de nf+e— tar, et que l'on multiplie son coefficient par e; si l'on augmente l'argument de l'inégalité de hv\ de n f + e'— 'or', et que l'on multiplie

son coefficient par — '-^^.e; enfin si l'on augmente l'argument

de l'inégalîté de Bs,dent-+-e — H, et si l'on multiplie son coefficient par — 2y; la somme de ces trois inégalités sera

.m'.an \ |^-(ïïf )+^'{^)+^(^)H«- ('*'«''-'«' +'>'-'^)|

or P et P' sont les fonctions homogènes en e, e et y, de la dimension i — i, i étant supposé plus grand que i; la fonction précédente est ainsi égale à

^ 2m\an.{i-i) j P. cos.{int—int+ie — ie)) in'^i n • j^p'. sin.(iVf- int+re'-ie)\'

Mainteoant on a, par le n° 69 du second livre, dans Sv, l'inégalité

Sm'.an\i ( P. cos. [int — int-+- i'e — le) 1 {{n'^iny -j—F.sin.îiVf— iiif-+-iV— le))'

D'où il suit que si Ton représente par

K. sin. [int — int -h i'e — ie — nt — e -h 0) ,

l'inégalité de 8v, dépendante de l'angle int—int + ie — ie—nt—e; si l'on représente par

K\ sin. [int — int-h le — ie — nt — e -h (7) ,

l'inégalité de Sr, dépendante de l'angle ïnt — int+ie — ie — nt—e; enfin, si Ton représente par

K\ sin. [int — int -}- ie — ie — nt — e -f- (7 ) ,

l'inégalité de S 5, dépendante de l'angle int—int+ie — ie—nt—e,

on a

eK. sin. («Vf — int-+-ie — ie — ^-hO)

-heK\ sin. [i'nt — in t -f- ie — ie — ist'h- )

— 2y. K\ sin. [i'n't—int^ ie — ie — Tl-h (f)

2li'—i) jj (in'— in) . /•/ /^ •*.•'/ • rk\

= \ . \ H.^ ^.sin.fiTif — mt-hie — îe-+-Q),

H.s\u.{i'nt — int-h-ie — ie-^-Q) étant l'inégalité de 5 v dépendante de l'angle int — int-^-ie — ie.

bn — 271 étant fort petit par rapport à n, on a par le n"* 27, dans Sv, l'inégalité

5',Q 17417. sin.(5/i'f — 3nf H- 5s' — 3s -f- 48^ 1210).

L'inégalité de 5^, dépendante de bnt — 3nt-\-be — 3e, est insensible. On a ensuite par le n^ 28, dans hv, l'inégalité

— i\o296i7.sln.(47i'/ — 2fif-+-4e' — 2e — 43^898o).