TOUE III

quantité m. Il suffit ici davoir égard aux termes dans lesquels le coefficient de v diffère peu de Tunité; et il est aisé de voir que le terme e.cos.[cv — ©) de l'expression de au, donnant par len** 4, dans âv, le terme — am^.sin. [cv — 'cr); un terme quelconque de aSu, tel que Lcos.(iv-he), dans lequel i diffère peu de Tunité, donne à fort peu près dans Sv, le terme — 2mLsin.(it;-he). On trouve ainsi que la variation précédente donne par son développement la fonction

im.A^^'Ke. [i~e*).cos.[cV'-^) + m.A,^''\ey\cos.[2v—imv—2gv+cv + 2d'-^)^

^' 1+m. i4/"^ — . cos.iv — mv] I a ^ '

\+ m. A^'*^ .—r . e . cos.iv — mv —^cmv + "Cs']

les autres termes de ce développement sont insensibles. Les termes

QÀ«' 4 »{3cos.(i; — t;')-+-5cos.(3v — 3v )},

de l'expression de

h^\\da)'^ u\ds)y

ont pour variation ,

.— .{3cos.(t; — mi;)-f-5cos.(3t; — 3mi;)j;

aa. a

en substituant pour aèu, i.^'^cos. (av — amr); il en résulte le terme

. il/*^ . — . COS. (t; — mv] .

La variation du terme

3 m'. a'* du . f ,.

2A*.a* dv ^ '

peut se réduire aux termes suivants,

6m'.a'* (itt Su . , ,. ^m.u'^ dSu . , ,s

-71 — T'-j"- — .sm. 2t;— 2v ï- — -.-î — .sm.(2t;— 2t;

A', a* dv u ^ ' 2n\u^ dv ^ ^

3m'.tt'*.Jt;' du , ,v

+ A'.«' '^•cos.(av-2t>);

ces termes, par leur développement, produisent la quantité

/ a(i-m).iw.(i-|e'')

+ {6(i-m). i4.'"+ (2-/n).4'"+ (2-3in).i4,w}. e'.cos.(c'in«-'Br') + 1(2— 3m— c).i4,'''— ■5-(2— am— c).y4,wj.ce. cos.(ct; + cmv— 1»-^©') 4-j{2— m— c) .i4,'*'+-|-(2— 2m— c).i4,<''|.ec'.cos.(cî>— cTOw-^-Htsr') + {c — m).y4/*'.ee. cos.(2» — 2mr— cw + cmw+isy— -©') ,, 4- (c+m). 4,'*'. ec'.(cos. 2»— 2mv—cv—c'mr+'©+'or')

+ { a ^ ' >.ey'. cos.(2^w— cr— aO+t»)

A,^**Key'.cos.['iv—2mv—2gv+cv+iiB—'a)

+ t(i-m).4,'")-|i."'). e''4-3 (i-m) . X.}.^. cos. (u-mr)

+ j (1— 2m). >!,<">— 4- (1— m). 4,'"'j. ^- e. cos.(t;— mw+cmu--©')

i+ji,<"'+y(i— m).i4,"")A.c'.cos.(t;— mv— c'm»+'Br')

L'expression de ( j-^I-tï — rj~» renferme encore la variation

^ — . \6 sin.(v— mrj4-iosin. (ot> — omv)|.-r.-T— ;

et il en résulte la quantité

La fonction

— .{i—m).AJ''K -T.cos.(t;— mr).

dda

' ) " J \^^ / " contient d'abord le terme

ddu 1 r/3m'.u'.dv . , ,A

sa variation est

dv

Su . f ,v

+ \hv' . COS. (2t;— 2v)

-p^.{i+|y\cos.(25ft;-20)j.j-j^

9 m' ru'\Su' j . f M

Le développement de ces termes donne, en observant que c est à très-peu près i—\m% et que g est à très-peu près i+ jm*,

^.i4/l.<*' + ^."'-iJ"-iOi4w.e'+|(^")-i,w).e«} ^

e. cos.(cim;— «')

— ; — 5 T.ee.cos.(2v—2mv-'CV—cmv+^+^ )

6m\i4W , 7 — T.ee.cosA2v—2mv-'CV+cmv + 'CS-'^)

7 r- M/*^+T^/*^l .ee'.cos.fci;— cuir — 'cr+'cr')

fi 1^*

H 7 ; r. e*.cos.(2Cî;— 2i; + 27ni; — Q'cr)

H 7 î r.y.cos.fîûft; — 2t;+2mv — 20)

J2i4/"J-i/"^+Ç.i/^^j • ^y^ cos.(25fi;-cv 7 r.^y.cos.(2t;— 2mv — 2ûfi;+ct;4-2 — tar)

On doit observer ici que C»^*^sin.(2i; — imv) est Tinégalité dépendante de sin.(2t; — imv) dans l'expression de la longitude moyenne de la lune, en fonction de sa longitude vraie; C,^*\e'.sin.(2i;— 2mî;+cmi;— W) et C,^'"^e,sin.(2i;— 2mi;— cW— 'cr') sont les inégalités dépendantes des angles iv — imv-^-cmv — 'cr' et IV — imv — crtiv-^^', dans la même expression. On peut observer encore que le terme

^.j4^^»^ + i/'^— i.^*Jj.e'.cos.(cmt; — tsr')

paraît être de Tordre m*, ce qui produirait une quantité de Tordre m\ dans Texpression de la longitude moyenne de la lune; mais ce terme n'est véritablement que de Tordre m*; car on verra, par les valeurs que nous donnerons ci-après de A^''\ A^^*^ et il,^*^ que la fonction IxA^^'^ -{- A^^''^ — A^^^^ est de Tordre m'; il nen résulte donc qu'un terme de Tordre m* dans Texpression de la longitude moyenne. Nous le conservons ici, parce que nous nous sommes imposé la loi de conserver les termes de cet ordre dans le calcul des inégalités du troisième ordre.

Il est indispensable, par cette raison, dans le développement

j 3m'tt ra'\dv . , '\ j ^ i ^ • •

de Tj— . I — — .sm.(2v — iv j, de porter la précision jusqu'aux quantités de Tordre Su*; il en résulte le terme

\o m'a ru\Su* i • / /\

— yTT- • ( ^, .rfi;.sin.(2i;— 21;).

Ce terme produit le suivant,

quoiqu'il ne soit que du cinquième ordre, cependant, comme il acquiert par Tintégration, dans Texpression de la longitude moyenne, le diviseur 2c — 2-j-2m, il faut y avoir égard. La fonction

\dv^ J f^ J \dv J u*

donne celle-ci,

7i;7 + "j-^J-- j^^r--i3sm.(î; — i;)-4-i5sm.(3^

Sa variation produit les termes suivants,

~a'j"3ïï^"^^°j'j Aa- '13sin,(i;— i;)+-i5sin.(3i;— 3i;)j 5 m* a

•7 — .-.fahn.dv. j3sin.(i; — v) -j-i5sin.(3v — 3î;')

d'où résulte le terme

7 V . |i3h-8 (i — m)M .A^^'K ->.cos (v — mv).

On doit faire ici une observation importante relativement aux termes dépendants de cos.(i; — mr), et que nous nous proposons de déterminer avec exactitude. Les expressions du rayon de l'orbite du soleil et de sa longitude contiennent des termes dépendants de l'angle v — mr, et qui résultent de l'action de la lune sur la terre : ces termes en produisent d'autres dans l'expression de u, et de la longitude moyenne de la lune, auxquels il est essentiel d'avoir égard. Pour cela, nous observerons qu'en vertu de l'action lunaire, le rayon vecteur du soleil contient, par le chapitre iv

du sixième livre, le terme -.cos.(v — v ), (x étant le rapport de la

masse de la lune à la somme des masses de la lune et de la terre; ce qui donne dans u le terme

.cos.fv V ).

La longitude v du soleil contient encore, par le chapitre cité, le terme

flM

• sin.(t; — V ).

Cela posé, le terme ' , contient le suivant,

3m a.tt'* / t\ rf— T-cos.ii; — r ).

Le terme — n— r.cos.fav — 21?') contient les deux suivants, — - — , , , .COS. (r— V .cos.(2v — 2r H rr— — .sm.(r--iM.sm.[2v--2i; ;

ce qui donne le terme . '^\ .cos. (y— i;'). En le réunissant

au précédent, on aura — hi!^\ - ^^^- (^""^0' ^*^^ résultent les termes suivants.

— -^-7 — î—.-.cos.iv— mrj — -2-7 — ^-.-.e.cos.fr — mr+cmi; — tsr )

t^a^ a ^ ' ka^ a ^ '

21 m* a , f , fv

f — .-T.e.cos. V — mv — cmv+tsT ).

aa^ a ^ '

Le terme 77-. | —V"- ^^°- (2v— av) donne pareillement les

suivants,

3m'./x a a , x 3 m', a a a , , , m 7 r.-.-.cos.it;— mv) ^-.-,.c.cos.(t;— mv+cmi;— © )

Qm*.i a a , f , ,k

— —, î-r.-.-.e.cos.iv— mt; — cmr+'Cî )

Il nous reste à considérer la partie du développement de 7, qui dépend du carré de la force perturbatrice- Ce

développement renferme la fonction — . (S^)', ce qui produit les

termes suivants ,

^ {B/*'-+-fi.<"»}.B.<".7V.cos.{c'mt;— -o') fi.w.B.w.cy'.cos. (2 5fr — cv — 2 0-+-'®).

9. Rassemblons maintenant les divers termes que nous venons de développer. La seconde des équations (L) du n? 1 deviendra ainsi

ifl.(4-3m-m').i<').(i-i.")+-l-. {£/•))•./

-4.ji+2m-f(4.r=^'-i).(-i±^+-^=^)U.w.{i-T«") I ^ ' \2— 2 m— c 2— am+c/j ^ ' '

407 ■]. {(i+6m+c).(i-iw)+7-f{2-2 m- cy\ ^ w /j ig'.\

[i.(9+TO+c).i4w.c"-Hi(9 + 3m+c).iw.e'»

.3(iW + .4W).e"

3to'