Le terme
-5^ de Fexpression de
i. /^\ s (dQ\
devient, en négligeant les inégalités du quatrième ordre,
S'' étant une fonction de la quatrième dimension en e et y, et h étant la partie de 5 due à Faction de la force perturbatrice. On verra ci-après que 5 5 est de cette forme,
§5 = 5/'^ y.sin.(2t; — 2mv — gv-i-d) -hB^^'K y.sin.(2t; — 2mv-\-gv — 6) -t-5,^*^cy.sin.(^t;H-cv — — ^) -hB^^'Key.sin.i^v — cv — Ô-f-isr) . -t-J5,^*^ey.sin.(2t; — 2mv — ^v-hcv-h -^BJ*Key.sm.[2v — smv-t-^t? — cv — -h-B,^*^ .ey.sin.(2i; — 2mv — gv — cv-f -h 5/'^ . e y .sin. [gv-hcmv — 6 — ^' ) -h B/'^ . e y .sin. {gv — cmv — d -4- tsr' ) -f-5/*^ey.sin.{2t; — 2mv — gv-\-cmv -i-5/*'^ey.sin.(2v — 2mv — gv — cmv- H-£.^"^e'y.sin.(2ct; — gv — 2«-f-0) -f-£,^"^e^.sin.(2v — 2mv — 2cv-^gv-
■0— tsr')
9) -f-5/"^e^.sin.(2ct;H-^t; — 2t;-4-2mt; — 2tar — B)
-f-J5,^"^ — .y.sin.(^t; — v-^-mv — 6) -t-J5,^"^ — .y.sin.(^i;-ht; — mv — B) :
les nombres placés au bas de la lettre B indiquent Tordre cette lettre; ainsi, 5/*^ est du premier ordre; B seç
ordre; et 1^,'"' est fini. On peut observer que cela a lieu, suivant que le nombre qui multiplie l'angle v dans le sinus correspondant diflfère de l'unité, d'une quantité de l'ordre m; ou d'un nombre fini, c'est-à-dire, de l'ordre zéro; ou d'une quantité de l'ordre m*; parce que l'intégration fait acquérir à ces termes un diviseur du même ordre. On aura, cela posé,
3 aa, 3 2 a, J J 3 2 a, 3 2a, J^ 2 a, 3 2a, 3 2a, 3 2a.
j5,w — i5,"'|.7'. cos.{2t;— amr) B,'°*.y'. cos.(2w — amv — 2^w-f- 20) jB.'*'-hB wj. ey\ cos.(cw— tar) B^^'Key^.cos.[igv — cv — 20-)-'©) J5,w.ey'.cos.(2w — imv — igv-\-cv-it-iB — xs] {5,^'' — B/''}.c}''.cos.(2» — 2mw — cv-\~ts) j£/')4 5WJ.e'y«.cos.(c'TOt;— «') J5,'*'.e'7'.cos.(2ï; — -xmv-^-c'mv — ta') B/'*'. c'y'. COS. (2 w — 2TOti — c'mv-^-ts') J5,'"'. e*y*. cos.(2cw — 2-©) jB.'"' H-B,""j. ^.y*. cos.{v— m«).
Si l'on réunit les différents termes que nous venons de développer, la seconde des équations (L), du n" 1, prendra cette forme,
dda „
n étant une fonction rationnelle et entière de constantes, de sinus et de cosinus d angles proportionnels kv; mais comme nous nous proposons d'avoir égard à toutes les inégalités du troisième ordre, et aux quantités du quatrième ordre qui les multiplient, il faut joindre aux termes précédents tous ceux qui, dépendants du carré de la force perturbatrice, deviennent de ces ordres, par les intégrations. Analysons ces nouveaux termes.
8. Pour cela, supposons que hu soit la partie de u due à la force perturbatrice , et que Ton ait
a8u = Â^^'Kcos.[2v — imv)
'A^^'K e. cos.(2t; — 2mr — cv-htsr) i4,^*^ e. cos.(qv — 2mi;-t-ci; — ^)
-il,^'^ e. cos.(2i; — imv-^cmv — ^')
-i4,^*^ e. cos.{2t; — imv — cmv-h'CT')
'A^^'K e. COS. (cm v — ^') -f-i4|^*^ ee.cos.[iv — imv — cv-t-c'mv-j-tsr — ^a') -f-i4J'^ ee.cxys.[iv — imv — cv — cmvH-'CTH-'cy') -hili^"^ ee'.cos^cv-^cmv — ^ — tsr') H-idj^'^ ^e. cos.(ci; — cmv — 'cr-h'©') -j-ij^^^e*. cos.(2cî; — im) -f-i4,^"^e*. cos.(2ci; — 2i;-{-2inv — 21») -+-i4,^"^ y\ cos.[i2V — 20) ^^ (i3j yi cos.(25fi; — 2î;-f-2ï?ii; — 20) -\-A^^''K e\ cos [icmv — 2®') -t->4,^"^^'.cos.(2^t; — cv — 2 0-h'cr) -l-i4/"^ey'.cos.(2i; — imv — 2^1;-!- cv-f- a — -cr)
-i4/"^-T.cos.(t; — mv) i4o^"^-T.«'.cos.(t; — mv'+'cmv — «')
-i4/"^-T.e'.cos.(i; — mv — c'mv-htïr') :
les nombres 0,1,2, placés au bas de la lettre A, indiquent que la quantité est de Tordre zéro, ou de Tordre m, ou de Tordre m\ Je ne considère ici que les inégalités du troisième ordre, et celles qui, étant du quatrième, peuvent produire les quantités du quatrième ordre, dans les coefficients des inégalités du troisième- Je porte Tapproximation plus loin , relativement à Tinégalité dépen-
m' II'*
dante de cos.lv — mv). Cela posé, le terme ' ^ donne par sa variation le suivant '-rr-: — ; ^t il en résulte la fonction
2 A^^'K e. cos.(2t; — 27111; — cr+tîT) 2 A.^'K e\cos.[2v — 2mV'-2cv + 2^) +-|-i4/*^.ee'.cos.(2î; — 2mi; — cr+cmv+tsr— tzr') ^ ^ +Yi4i^'^ ce'. cos.(2v— 27111;— cv — c'mv+^+'Cj')
-|-i4/"^ -7- e. cos.(î;— Tnv+cmi;— 'Of')
+-jA,^"K -T.e'.cos.[v—mv—cmv+'Vs')
l+i>4.''". %-.e\cos.{v-mv)
u éprouve une variation par la variation de v qui dépend du temps t, et de ses inégalités en fonction de v; mais ces inégalités sont multipliées par m, dans Texpression de v, et de plus, par e dans Texpression de u ; on peut donc d'abord négliger ici, sans erreur sensible, la variation 8u. Nous aurons bientôt égard au terme de cette variation, qui dépend de Taction de la lune sur la terre.
Le terme — ,/ ^ .cos.(2i; — 21;') a pour variation
— -^-T^ — T-.ou.cos.[2v — 2v )H n — r-- 3i;.smJ2î; — 2v).
Si Ton substitue au lieu de Su sa valeur précédente, on trouve que le premier de ces deux termes donne la fonction
+ {3i4,^«î+i4.^'^+^^*^|.^'.cos.(cmi;~^') + {A/*^+Y4/*^j.ee'. cos.(ci;---cmi;— 'cr+'cr') 4- {i/'^-li/'^l.^^'.cos.jcv-cmv -'©-'©') -\'A^^*Kee.cos.[2v—2mv—cv--cmv+'rs+^')
-hA^^^*Key^.cos.{2v — 2mv—2gv+cv+20—^)
+ \A,^"^-\A,^''Ke'\ .-T. COS. [v-mv)
+ {i4/"J-|>l,^"îj.^.e'.cos.(i;-mî;+cmi;-'cr') + \A.^''^+^A,^"^\.^.e.cos.{v-mv-cmv+^')
ahu contient un terme dépendant de cos. (3i; — Smt;), que nous avons négligé à cause de sa petitesse; mais comme il peut influer sur le terme dépendant de cos.(i; — mv), nous aurons égard à
cette influence. Pour cela, désîgnons-le par X,.— .cos.(3v — 3mr);
la fonction — ^-tt-t- 5u.cos.(2r — 2v) donnera le terme,
2A*. tt* ^ ^
^ — .Aj.-r.cos.fv — mv).
ka
3m'.tt'^
Pour développer la variation -rr-V"- ^^- ^^^-(^^ — 2v), nous observerons que Sv contient, par le n° 4, les mêmes inégalités que Texpression de la longitude moyenne de la lune, en fonction de sa longitude vraie; mais elles y sont multipliées par la petite
