TOME m

Si Ton rassemble tous les termes dépendants du cosinus de cet angle, que donne le développement de la seconde des équations (L) du n° 1, et que nous avons déterminés dans le n*" 6, cette équation devient, en n ayant égard qu'à ces termes,

ddu 3 m' (lo— iQ/ii+8m*).(2+c--m; , , v

o= -j— +u-\ • ^ ^-ri ^ ' . e*.cos. (2 cv+2 v— a mv— 2 taf;

dv^ 2a ^ a{c—m—i) ^ '

en nommant donc i4V*^^'.cos.(2Cî;-h2v — 2mv — 2©), le terme correspondant de aSn, on aura

.(lo — i9m-4-8m').(2 — m-f-c)

' ~ 4(c-m+i).{4(c-m+i)»-il

Si Ton nomme ensuite CV*^^*.sin.(2cv+2i;— 2mt;— 2'CT),le terme correspondant de l'expression de nf-t-e; on trouve, par le n"* 15,

3m* (lo— igm+Sm*) 3 m'.(i— m) 9 m'

2 ' 8(c— m + i) 2— 2m+c 16 (1— to)|

En réduisant ces formules en nombres, on a

i4V"^= 0,002 G io4i y CV»)=:o,oi3o6i8;

d'où résulte dans nf-he, l'inégalité

— 2 5",o3.sin.(2ci;-f-2i; — imv — 2©).

L'expression de dt du n** 15 donne dans nf-he, le terme

3i4,^*^ee'.sin.(2T;— 2mv+cî;— c'mv— «r+«r') 2— 3m+c

Ce terme est sensible à cause de la grandeur du coefficient i4,^*^

il est donc utile de considérer l'inégalité relative à Targument 2v — ^mv^+^cv — cmv — tsT-4-ty'. La seconde des équations (L) du n"" 1 donne, en n'ayant égard qu'à ces termes que nous avons développés dans le n^ 6,

(2V—2 mv+cv\

dda 2im*.(2— 3m).(4— 3m+c) ,

dv* H (a— 3m+c)

Soit

i4V*^^^'.cos.(2t; — 2mv-hcv — cmv — TS-h-^a')

la partie de a Ju dépendante de l'argument dont il s'agit; on aura

A, (jj 2 1 m*. (2— 37ii) . (4— 3iïi+c)

• ~"~ 4(2-3m+c).|(2-3iw+c)'-i } *

Si l'on nomme ensuite

CV'^^^'.sin. (2 V — 2 mv-hci; — cmv — m-hts')

la partie de nf-+-e, relative au même argument; on trouve par le n^ 15,

2im\(2-3m) ^ 2im> ^^.,, ^ ^ ^ ,^^

Qf (,) A(2— 3m+c) 4(2— 3m) [ ^

2— 3iîi+c

£n réduisant ces formules en nombres, on trouve

il?^=— 0,0134975, CV'^= o,o53448o;

ce qui donne dans nt-he, l'inégalité

3 i^'jSQ.sin. (2 V — 2 mvH-ci; — cmv — isr-htar').

Les inégalités dépendantes des angles 2cv — 2î;-f-2mî;dbcmt; — 2t«TqF'CT'> semblent devoir être sensibles par les grands diviseurs que les intégrations leur font acquérir; il importe donc de

les déterminer avec soin. En suivant Tanalyse exposée précédemment, et en n'ayant égard qu'aux quantités du quatrième ordre, si l'on représente la partie correspondante de a^a par

A\^^\e^e .COS. [icv — sv-hamv-t-cmv — 2© — tar') -t-i4V'^.^'^'.cos.(2cv — 2v-f-2mr — cmv — 2tBr-H'cy'),

l'équation diflférentielle en u devient

7 (2+1 im+8mV) 7(io+i9m+8m*)j ddu 3m' ) Te 8(2c— 2+3m)

^^ "# J O/ll ' 1 Af (,j

0=:-j— + UH •{ ^ ^ ,, ^ ' >,e'g.cos.( ,

1 \+cmv— 2tîr-'B

10 + 19 m +8 m* (2+1 im4-8m*)

3m* ] 8(2c— 2+m) TÔ f , , / 2cv — 2v + imv\ ^ ^ ' >.e*e.cos.( , , h

on aura donc

' "" 1— jm*— (2c--2+3m)* j^ 7(io + i9m + 8m*)+4oi4,Wj'

!io+i9m+8m*— 4o i4,w 8 (2 c— 2+m) (2+iim+8m*) Te

Si Ton désigne la partie correspondante de /if-he, par

CV'^^^'-cos.(2ci; — 2i;-h2mv-f-cmt; — 2t«T — ia') -H CV*^.«*^'.cos. (2 cv — 2 v-t- 2 mv — cmv — 2 tsy-f-tsr') ,

on aura par le n"" 15,

I2iin'.(io+i9m+8m*)+i2om*. i4i^"^ 2im'.(2+3m) 63m' j i6 (2c— a+3m) 4(2— 3m--c) 16(2— 3m) l ^ . ^, , -2ilV')+3i/-^-3i4/-)+3i/'U/') ^1

2 c — 2+om -3m*.(io+i9m+8m')+iaom*.i4/'^ 3 m*.(2+m) gm*

i6(2c— 2+m) 4(2— m—c) 16(2— m) ç. j.j^ f--2ilV»)+3>4/->-34<-^+3i/*\^/'^

En réduisant ces formules en nombres, on trouve

A\'<= 0,744932, A\^'^= — o,oi5332o, CV"^= 0,563 137, CV'^== — 0,0235572;

d'où résultent dans nt-i-e, les deux inégalités

i8\i5.sin.(2ct; — 2t;-f-2mi;-f-cmî; — 2« — tsr') — o',76.sin. (2cî; — 21; -h 21111; — cmv — 2'CT-4-tty').

Les inégalités dépendantes des arguments 2ct;±cmt; — 2iafri=i5' sont très-faciles à déterminer par la considération de l'expression de dt du n** 15. Cette expression donne dans celle de nt-he, les inégalités

sin.(2cv-|-cmi; — 2^0 — 'cr') .sin.(2ct; — cmv — 2'nr-f-tBr');

et il est aisé de voir que ce sont les seuls termes du quatrième ordre qui dépendent de ces arguments. En les réduisant en nombres, on a dans nf-he les deux inégalités suivantes,

— 9^75.sin.(2Cî;-[-cmt; — 2« — «j -+-i3',89,sin. (2C1; — cmv — 215 -h-«').

Il est facile de voir, par Texpression de dt du n*" 15, que l'inégalité dépendante de Targument /^v — ^mv — cv-h'O, doit être sensible. Pour la déterminer, nommons

le terme correspondant de ahu. 11 est clair qu'il ne peut en résulter de semblables, dans l'équation différentielle en u, que par la variation des termes de la seconde des équations (L) du n^ 1, dus à la force perturbatrice. Nous avons développé ces variations dans

le n° 8. La première est 'j^-\ — ; et elle ne produit aucun

terme du quatrième ordre dépendant de cos.{^v—/imv—cv-h^). La seconde variation est

— ^. , . dM.cos. 2r — 2r + #, , - dv.sm. 2V — iv );

elle produit le terme

-7 — . (3 — l^m) .yl/*^<?.cos.(4t' — àrnv — cv-f-'cr).

La troisième variation est

6m'. tt'* Su du . f ,x im.u'^ d.Su . , ,>

;, -. — .-T-.sm. 21' — iv TT—r^—j — .sm. 2r — iv )

'irn.u\Sv' du , ,s

H 77—: .-7-.COS.(2î; — IV ;

elle produit le terme

-. — . (2 — ira — c).A,^'Ke.cos.[kv — kmv — cv-htar).

Enfin la quatrième variation est

-f-|7^ COS. (25(1; — 2 0)}. I ^^-4^ . — .sin.(2i; — 2î;')-4-| 3v'.cos.(2v— 2*

elle produit le terme

3 m* fa— 5m) m ,.. t § i \

. -f — 7 — . il/ \ e . cos.fav—amv—cr+'CT .

a^ l^ — lim — c ^ '

L'équation difiFérentielle en n deviendra donc, en n'ayant égard qu'à ces difiFérents termes,

dda 3 m' (t ^ 4(2— 5m) ) .... // # x

o=-j— +u 7 — . 5 — om — c + 7-^-7 ^[ .A.^'Ke. ces. 4^— ^mv — cv + ^].

dv* Ixa^ ( 4— am— c) ^^ ^ , y

En y substituant

>4V*^-^-cos.(4v — kmv — cvH-isr) pour aèn, on aura

Si Ton nomme ensuite

CV*'. e. sin.(4i' — 4nït; — cv-^ts)

le terme correspondant de nf H-e; on aura, par le n" 15 ,

En réduisant ces formules en nombres, on trouve

ilV*^== — 0,000799351, CV*^= 0,00294934;

d'où résulte dans l'expression de nf-+-e l'inégalité 1 o3',o 1 . sin.(4v — kmv — cr-h tar )

L'inégalité dépendante de 4v — 4^wi; — scv-ha^Œf peut encore être sensible : l'expression de ndt du n° 15 contient le terme

-f- (i4/'^)\ e\ dv . cos.(4v — /[mv — 2cv -h 2 «) ;

d'oii résulte dans nt+e le terme

3 (/4,^* )*.(?*.sin.(4i^— 4/wv— 2cv + 2tff) ^

il est aisé de voir que c'est le seul terme du quatrième ordre, dépendant du même argument, qui entre dans l'expression de 111-+- e. En le réduisant en secondes, il devient

68\70.sih.(4t' — àmv- — 2cr-f-2«).

On verra ci-après que les tables de Mason et de Burg s'accordent à ne donner que 46'' environ, pour le coefficient de cette inégalité; ce qui semble indiquer que ce coefficient est bien déterminé par les observations. Ainsi, la différence de 22'' qui existe entre leur résultat et celui de notre analyse vient, en grande partie, des quantités du cinquième ordre, que nous avons négligées dans le calcul. Pour le prouver, et faire voir en même temps qu'une plus grande approximation diminue les différences entre la théorie et les observations, nous allons déterminer ce coefficient, en ayant égard aux quantités du cinquième ordre. Désignons par

A\^K c\ cos.(4v — ^mv — 2 cv-h 2® ) ,

le terme correspondant de ahi; il est clair qu'il ne peut en résulter de semblables dans l'équation différentielle en «, que par la variation des termes de la seconde des équations (L) du n® 1, dus à la force perturbatrice. Nous venons de donner les quatre variations de ces termes : la première ne produit aucun terme du

cinquième ordre, dépendant de cos.(4v — i^mv — 2cr-t-"2isr). La seconde variation produit le terme

-^ — . [iA,^'^ — i4j^"Jj.e\cos.(4v — hmv — 2cv-+^2tar). Les termes du cinquième ordre, dépendants de

C0S.(4v — à^V 2CV-h 2'CT) ,

et produits par la troisième variation, se détruisent mutuellement, aux quantités près du sixième ordre. Enfin, la quatrième variation produit le terme

3m' ( 5yl,t>)>~2i4,t") (i--2m).(3~

2a ' 2— 2JÎI— c

.(3^aiii).(io+i9m+8m') ^ ,)^All.\ e^ cos ( ^^"^mA 4(2c— 2+2in} ' * 2— 2m)* ' 'y 2cr-f-2tsT/

L*équation différentielle en u devient donc, en n'ayant égard qu'à ces termes.

m* 1 ' * * 2— 2m— c 2 — 2m f , / hv — àmv\

^ y V g'^ COS.I )•

fl, '] , (i— 2m).(3— 2m).(io+i9yw+8m*) i(,)(* \— 2ci;+2«/

En substituant i4V'^«*.cos.(4v — dwt; — 2ci;-h2tar) pour a5u, on aura

5yl w-2yl.(") >4»<"^

Si Ion désigne ensuite par

C^*^e*.sin.(4v — kmv — 2cr-h2'or)

TOUB III. 36

le terme correspondant de nfH-e, on aura, par le n" 15,

3m'.(5i4,"'-2i4,"") 2 7 m* (10+19 w+8iw*) .,(,.

I 4(2— 2in— c) G4(i— m)' 2c— 2+2m '

i^-3iV»+ ^^3'"' ^ ^ imV^^ 3m'.(.o+.9m+8m') J 4(i — wi) 2— 2m— c 8(2c— 24-2m)

4 — 4in — 2C En réduisant ces formules en nombres, on trouve

AV^=o,oo436374, CV'^ = o, 0249067;

ce qui donne dans nt-he l'inégalité

47^7l.sin.(4v — /imv — 2cv-\-2^).

La différence entre ce résultat et celui des tables est insensible; et Ton voit par ce calcul que, pour rapprocher entièrement la théorie de l'observation , à l'égard de toutes les inégalités lunaires, il suffirait de porter l'approximation jusqu'aux quantités du cinquième ordre. Cela résulte encore du calcul de l'inégalité dépendante de sin.(t; — mv), dans lequel nous avons eu égard aux quantités de cet ordre ; car on verra par la suite que le résultat de notre analyse, comparé à celui des observations, donne à trèspeu près la parallaxe du soleil, que l'on a conclue des passages de Vénus sur cet astre.

L'inégalité dépendante de l'argument cv — v -f- mv — tar peut être sensible, à cause de la petitesse du coefficient de v dans cet argument. Pour la déterminer, désignons par

i4V*- — .^-cos.fci; — v-hmv — ty),

C\''K -T.e. sin. (et; — v -4-mi; — tar) ,

les parties de ahu et de nt+e qui dépendent de cet argument; on aura, en ayant égard aux perturbations de la terre par la lune,

(C+I«— l). jl — (c-f-TO— l)'— Ylîl'j '

c-f-zn— 1

D'où Ton tire

CV^^zz: — 0,293763.

De là résulte dans nt-^-e l'inégalité

— 25",65. (i-hi) .sin.(ci; — v--hmv — ©).

L'inégalité dépendante de l'argument v — mv-h^cv — tar est facile à déterminer par le n"" 15; il est aisé de voir qu'elle est égale à

.-r.^.sm.ii; — mv-hcv — tar),

et par conséquent égale à

— 15\47- (1-+-O .sin.(v — mv-^cv — tar).

En suivant les mêmes procédés, on déterminera les autres inégalités du quatrième ordre; mais comme elles sont au-dessous des erreurs de nos approximations, il ne sera utile de les considérer par la théorie que lorsqu'on voudra porter l'approximation jusqu'aux quantités du cinquième ordre.

Maintenant, si Ton rassemble les inégalités du quatrième ordre que nous venons de déterminer, on aura

-I- 2 6",77.sin.

— 2 5\o3 .sin.

-f- 3 1^39. sin.

-t- 18^1 5. sin.

— o,70.sm.

— 9 ',7 5. sin.

-\- 13^89. sin.

^-lo3",ol .sin.

-h kl\']i .sin.

— 2 5^65. (i-hi) .sin. (ci; — v-

— i5\47 . (n-0 •sin.(i; — mv

2v — imv — 2^v-+-cî;-h2 — tsr)

IV — 'imv-\-cv — cmv — ^cTH-tar)

2CV — 2v-\-imv-\-cmv — 2« — 'cr')

2CV — 2v-\-imv — cmv — ^2«-h'Cf')

icV'+'Cmv — 2tar — tar')

1CV — cmv — 2tar H- W )

liv — kmv — crH-tar)

kv — kmv — 2Ci;-f-2'CT)

mv — "us)

-cv — tar).

18. Considérons le mouvement de la lune, en latitude. Nous avons déterminé précédemment la tangente s de sa latitude; or l'expression de Tare par la tangente s est 5 — y 5'-}- y 5* — etc.; ainsi la latitude de la lune est à très-peu près,

y.(i — y7') .sin.(5fi; — 0)-+-55.{i — -f-y'-h jy*.cos.(2^t; — 2Ô)}

-f- ^y\sin.(3^t; — 30);

d'où j'ai conclu , en employant la valeur précédente de y, la latitude égale à

5723o",83.sin.

+- 38^,78. sin.

f-1621',09 .sin.

f- 3",52.sin.

— 17 ,20 .sm. +- 6i",2 7.sin.

f- i9\95.sin.

— 4 ',2 8. sin.

gv-e)

2v — 2mv — gv-i-d)

2v — 2mv-hgv — 6)

gv-hcv — — «)

gv — cv — 0H-tar)

2v — 2m V — gv-^cv-hd — tar)

2v — 2mV'-hgv — cv — d-h'ts)

(21; — 2mv — gv — ci;-4-0-t-'cr)

[gv-hcmv — d — «')

[gv — cmv — 0-f-W)

[2v — 2mv — gv-hc'mv-\-d — 'cr')

(21; — 2mv — gv — cmv-\-0-{~'cs')

[2cv-hgv — 2v-h-2mv — 2« — 6).

19, Il nous reste à déterminer la troisième coordonnée de la lune, ou sa parallaxe. Le sinus de la parallaxe horizontale de la

lune est égal à — ou à ^ , D étant le rayon terrestre. Vu la

sin.(

So^oô

sin.(

. sin.(

sin.(

sin.('

sin.(