TOME III

On a ensuite

3iw'.(a+m) 3m' ^ (.»)i.^ ,.) 3m'. ^.c»

r (ni 8(a5-2+m) i6(i-m) ' * ' ag-a+am

On doit appliquer à cette valeur de C,^"^ une remarque analogue à celle que nous venons de faire sur C/"^ Enfin on a

16. Déterminons présentement les valeurs numériques de ces divers coefficients. Pour cela, nous remarquerons que les observations donnent

e =^0,0 1681 4, à l'époque de 1760;

Suivant les observations, Targument CJ'Ke.sm.[cv — ^) est à très-peu près égal à — 69992^,3 . sîn. [cv — tar). On a donné dans ]e numéro précédent la valeur analytique de C,^*^; en y substituant pour A^^'' et Â,^'\ leurs valeurs qu une première approximation m'a fait connaître, j'en ai conclu

Cette valeur a toute la précision nécessaire pour la détermination des coefficients A^^'\ A,^'\ A^^^\ etc. Tai supposé, conformément

aux phénomènes des marées, la masse de la lune ^^— de celle de

la terre. Cela posé, les équations entre ces coefficients, trouvées dans les n"* 10 et 14, deviennent

A.w= 0,00723508 — o,oo5oi8a.|B/*'—5.W},

i.w = o,2o4o44 — 0,0660894 .i4 w— o,o48o577. jB.'"— B,wj ,

i.'" = — o,oo3 1 5 1 60 — 0,004496 1 o .B,'*\

i.w= 0,0289026 — o,oo564793.B,"",

y4/*' =: — o, 1 933 1 5 H- o, 1 04996 .i4,'''H- 0,3 72 796 .il,'*',

i4/'' = — 0,090843 2-1-0, 1 3907 1 .i4,''' — 0,280299 .il,''',

i4,'*' = 0,079 1 1 93 -f- 1 ,055799 .i4,W-i- 0,2 70902 .il,w,

i,(")= 0,002 85368 — o,oo4 1 5o 1 8 .B,^"\

i.(")= o,366ioo — 0,01 72338.4 w— 0,259744. 4<'"

— 1,022473.4.'"'— 36,11 o32.{B.W—Bw.5.wj , y4.<'"= o,ii462 3-i-o,i6659i./4.'"'— 5,o78ii.B.w,

4,'"'= — o, 1 2 1 028 -h 0,937 593 .4,'" — o,oooo3 1 563 . 4,'"'

— o,i39767.{B,'"'-hB.'"'}, 4,""= i,2o8i24-f-i,oi870o.i,""— 5,074801.4."", 4.'"'=— 0,1 2 1295 -h 0,675879. 4.("'H-o, 183834. 4."':. B,'*'=: 0,0287031 — 0,0574772. 4,'''-h 0,000432665 .4,'"', B,''' = — 0,00000236395,

B.w=— o,oo564433 -h 0,00482 10. B.<",

B,w= o,oi66486-+-o,oi66486.4,'"— o,oi65i94.B,'",

5,<" = 0,08097 77 -+- 0,02 49 1 92 .B,<" — 0,0478 1 94 . B/"\ 5 w = — 0,08686684-0,187099. B.W-+-o,o556224.B.'", B/"=— 0,0268090 — 0,0787687. J5,'"-ho,o5o654i.5.^ 5,"""= 0,0712675 — o,o3o47765.B, ""-4-0,0211192.5,"', £,(»)= 0,42 1 270 -f-0,842640. il w— 0,337016. i.""

5,"*= 0,000194141 — o,i684o3.y4."'-ho,o6736i4.{>4."'-+-T5." B.<")= o,o847889-ho,i47896.|iW—|£,wj— 0,0691686. i."", £,""=— 0,0126619, B,'»)= 0,00886625.

Tai conclu de ces équations les valeurs suivantes :

Bw= 0,02 8383 1, B,''*= — 0,00000236395, 5.w=— o,oo55o748, ^.w= 0,0195530, fi.w= o,oo6366o8, B.w=— 0,00136676, i5,''*= — 0,0212720, B,'''= 0,0782400, £.(•) = — o,o833684, B.c =—0,0327678, £.('•)= 0,0720448,

£,<"'= 0,0061023, B,'"'= 0,0920621, B.*'*'= — 0,0125619, £.(")= o,oo386625.

Au moyen de ces valeurs, j'ai rectifié la valeur de e, en faisant usage de l'équation

L'expression de C,'" trouvée dans le n° 15 donne

C,"> = — 2,003974, d'où j'ai conclu

ce qui difi<ère très-peu de la valeur déjà employée. J'ai trouvé ensuite

C,w=— o,25oo34,

C,^*^= — 0,00919876, C,<')=— o,4ao46, CJ»)= 0,0129865, Ct^'^= 0,00892546, C,(-)=— 0,0887853, i4,^*^ = — 0,00571628, C/")= 0,196755, C/"^= 0,127650,

Il faut par le numéro précédent employer dans le calcul de C/'*^ et de C/"^ les valeurs de A^^'\ i4/"^ et ^4/"^ déterminées en n ayant point égard aux carrés de Texcentricité et de Tinclinaison de lorbite lunaire. J'ai trouvé ainsi les valeurs suivantes de A,^'\ ^ (11)^ ^ (13) gj jg (0) ^Qjit on doit faire usage dans ce calcul.

iw-

d'où l'on lire

On a ensuite

Cela posé, l'expression de nf-f-e du n"* 15 devient, en réduisant en secondes ses coefEcients,

-tar)

: — 6999a\3o.sin.

-h i442\66.sin.

— 35\34.sin.

-+- 1255^92 .sîn.

-f- 2o4',86.sin.

— ôSôô^ii.sin.

— 14461^28 .sin.

-f- 453',58.sin.

-K 42^02.sin.

— 4 1 5'', 1 6 . sin.

H- 2 106^09. sin.

-h 74^96•sin.

— 63 5', 2 6. sin.

-+- 2 1 9", 1 1 . sin.

— 362^1 8. sin.

-t- 52 1^91. sin.

-h l74^74 .sin.

-+- 3i\2 5.sin.

2 CV 2

3cv — 3^) 2gv — 2 0) 2gv — cv — 2 0- 2gv-i-cv — 2 6' 2 t; — 2 mv) 2v — 2 mV' — cv-

-tar) -tsr)

2 mV' 2mv- 2 mv-

cv tff)

cmi; — tar')

cmi; — W)

2 r — 2 mv — cv-hc'mv-h'Uf — W) 2 v — 2 mv — cv — cmv-h'Cf-h'îs') cv-hcmv — "cs — isy')

cv Cmv — 1!T-+-tiT')

2CV — 2v-+-2mv — 2tBr) 2gv — 2v-\-2mv — 2 0) 2 cmv — 2 'Ct') 376',586. (i-4-i) .sin. (r — mv) 58^o53 . (n-i) .sin. (v — mv-f-cmv — 'cr').

Les deux derniers termes ont été déterminés, en supposant

— = T — . Cette fraction dépend des parallaxes du soleil et de la lune; elle difiFère très-peu de -j — ; mais pour plus de généralité,

nous Taffectons du coefficient indéterminé i-4-i, et en comparant le terme dépendant de sin. (v — mv), au résultat des observations, nous en conclurons dans la suite la parallaxe solaire.

Il est facile de voir, par ce qui précède, que les perturbations de lorbe terrestre par la lune introduisent dans A,^"^ la quantité

o,2 5o44.(^, et par conséquent, dans C/"^ la quantité — o^ôAiSg.ft, d'où résulte, dans l'expression de la longitude vraie de la lune,

l'inégalité o,54i39 .(x. — .sin. (u — mv). L'action directe de la

lune sur la terre produit dans le mouvement de cette planète

l'inégalité — y.jx.sin. (i; — mv); cette action est donc réfléchie à la

lune par le moyen du soleil, mais afiaiblie dans le rapport de 0,54 1 39 à l'unité.

L'expression précédente de nt+e renferme les quantités c et^, et ces quantités dépendent de l'action du soleiL Nous avons donné leurs valeurs analytiques dans les n*** 10 et 14. En les réduisant en nombres, on trouve

c=o,99i567, ^z=i,oo4oio5.

Le mouvement (1 — c).v du périgée lunaire est donc, par la théorie précédente, égal à o,oo8433.v. Ce mouvement, par les observations, est égal à o,oo8452 .v; ce qui ne diffère du précédent que de sa 445* partie.

Le mouvement du périgée est assujetti à une équation séculaire dont nous avons donné l'expression analytique dans le n** 10. En la réduisant en nombres, elle devient

3,00062 . 1 . m*./(e *—£'•) . dv.

Elle a un signe contraire à l'équation séculaire du mouvement moyen, et elle est à fort peu près trois fois plus grande.

Le mouvement rétrograde [g — i).v du nœud de l'orbite lunaire est, par la théorie précédente, o,oo4oio5.t;. Ce mouvement, par les observations, est égal à 0,00402176.1;; ce qui ne diffère pas du précédent, de sa 360*^ partie.

Ce mouvement du nœud est assujetti à une équation sécu-

laire, dont nous avons donné l'expression analytique dans le n** 14. En la réduisant en nombres, elle devient

0,735452 .\m\f{e'—F').dv.

Elle a un signe contraire à celle de la longitude moyenne de la lune; d'où il suit que les mouvements des nœuds et du périgée se ralentissent quand celui de la lune s'accélère, et les équations séculaires de ces trois mouvements sont constamment dans le rapport des nombres 3,ooo52, o, 735452 et 1. On doit donc, dans l'expression précédente de nt-f-e, substituer, au lieu des angles cv et gv, les quantités

cv — 3,ooo52 '\riC>f[e* — E'*),dv, ^i;-+-o,735452 .im\f{e'—K').dv.

L'équation séculaire de l'anomalie moyenne est ainsi,

— 4,ooo52 .\m\f[e* — E').dv,

ou a très-peu près quadruple de celle du moyen mouvement.

17. Nous allons présentement déterminer quelques-unes des inégalités les plus sensibles du quatrième ordre. L'une de ces inégalités est relative à l'angle 2v — 2mv — 2(jv-hcv-h2d — «, et nous avons déterminé précédemment la partie de aSa qui dépend du cosinus de cet angle. On trouve ensuite, par le n° 15, que l'expression de nt-he renferme l'inégalité