CHAPITRE XVI

Du nombre.

$ 1 .Le nombre est la plus simple et la plus universelle de-toutes nos idées.

Comme parmi toutes les idées que nous avons, Il n'y en a aucune qui nous soit suggérée par plus de voles que celle de l'unité , aussi n'y en a-t-il point de plus simple. Il n’y a , dis-je , aucune apparence de variété ou de composition dans cette idée ; et elle se trouve jointe à chaque objet qui frappe nos sens , il chaque idée qui se présente à notre entendement, et à chaque pensée de notre esprit. C’est pourquoi, H n'y en a point qui nous soit plus familière ; comme c'est aussi la plus universelle de nos idées dans le rapport qu’elle a avec toutes les autres choses; car le nombre s'applique aux hommes, aux anges , aux actions , aux pensées, en un mot , à tout ce qui existe , ou peut être imaginé.

S î. Les modes du nombre se font par voie d'addition.

En répétant cette idée de l’unité dans notre esprit , et ajoutant ces répétitions ensemble , nous venons à former les modes ou idées complexes du nombre. Ainsi, en ajoutant un à un, nous avons l’idée complexe d’une couple; en mettant ensemble douze unités, nous avons l'idée complexe d’une douzaine; et ainsi d’une centaine , d’un million ou de tout autre nombre.

S X. Chaque mode exactement distinct dans le nombre.

De tous les modes simples , il n'y en a pas de plus distincts que ceux du nombre , la moindre variation , qui est d’une unité , rendant chaque combinaison aussi clairement distincte de celle

qui en approche de {dus près , que de celle qui en est la plus éloignée, deux étant aussi distinct d’un que de deux cents; et l'idée de deux aussi distincte de celle de trois , que la grandeur de toute la terre est distincte de celle d'un clron. Il n'en est pas de même & l'égard des autres modes simples , dans lesquels il ne nous est pas aisé , ni peut-être possible , de mettre de la distinction entre deux Idées approchantes , quoiqu’il y ait une différence réelle entre elles. Car, qui voudrait entreprendre de trouver de ta différence entre la blancheur de ce papier et celle qui en approche d'un degré, ou qui pourrait former des idées distinctes du moindre excès de grandeur en différentes portions d’étendue?

$ 4. Les démonstrations dans les nombres sont les plus précises

Or , de ce que chaque mode du nombre parait si clairement distinct de tout autre, de ceux-là même qui en approchent le plus prés , je suis porté à conclure que si les démonstrations dans les nombres ne sont pas plus évidentes et plus exactes que celles qu’on fait sur l’étendue, elles sont du moins plus générales dans l’usage , et plus déterminées dans l’application qu’on en peut faire ; parce que , dans les nombres , les idées sont et plus précises , et plus propres à être distinguées les unes des autres, que dans l’étendue, où l’on ne peut point observer, ou mesurer, chaque égalité et chaque excès de grandeur aussi aisément que dans les nombres , par la raison que dans l’espace nous ne saurions arriver par la pensée à une certaine petitesse déterminée au delà de laquelle nous ne puissions aller, telle qu’est l’unité dans le nombre *. C'est pourquoi , l’on ne saurait découvrir la quantité ou la proportion du moindre excès de grandeur qui d’ail-

• * Cela se doit entendre du nombre entier, car an- « trvmert, le nombre, dans sa latitude, comprenant l«

- sourd , le rompu et te transcendant, et tout ce qui peut * se prendre entre deux nombres entiers , est proportion- « nei à U ligne, et il y a là aussi peu de minimum que n dans le continu. Aussi cette définition , que le nombre « est une multitude d'unités, n’alicu que pour les entiers. « La distînetiou précisé des idées, dans l'étendue, ne « consiste pas dans la grandeur, car pour reconnaître » distinctement la grandeur U (but recourir aux nombres

■ entiers, ou à ceux qui sont connus psr le moyen des « entiers ; ainsi , de la quantité continue , il fiiut recourir s à la quantité discrète, pour avoir une connaissante « distincte de la grandeur. Les modifications de retendue,

■ lorsqu'on ne se sert point des nombres , ne peuvent donc " être distinguées que par ta figure, prenant ce mot si « généralement qu'il signifie tout ce qui fait que deux

- étendus no sont pas semblables l’un A l’antre. »

DE L’ENTENDEMENT Hl MAIN.

leurs paraît fort nettement dans les nombres , où , comme il a été dit , 91 est aussi aisé ù distinguer de 90, que de 9000 , quoique 91 excède immédiatement 90. Il n'en est pas de même dans l'étendue , où tout ce qui est quelque chose de plus qu’un pied , ou un pouce , ne peut étrè distingue de la mesure juste d'un pied ou d’un pouce. Ainsi , dans des lignes qui paraissent être d'une égale longueur , l’une peut être plus longue que l'autre par des parties innombrables; et il n'y a personne qui puisse donner un angle qui, comparé ù un droit , soit immédiatement le plus grand , en sorte qu'il n'y en ait point d'autre plus petit qui se trouve plus grand que le droit.

§ 5. Combien il est nécessaire de donner des noms aux nombres.

En répétant, comme nous avons dit, l’idée de l’unité , et la joignant ù une autre unité , nous en faisons une idée collective que nous nommons deux. Et quiconque peut faire cela , et avancer , en ajoutaut toujours un de plus à la dernière idée collective qu’il a d'un certain nombre quel qu’il soit , et à laquelle il donne un nom particulier ; quiconque , dis -je, fait cela , peut compter , ou avoir des idées de différentes collections d’unités distinctes les unes des autres, tant qu’il a une suite de noms pour désigner les nombres suivants , et assez de mémoire pour retenir cette suite de nombres avec leurs différents noms 1 : car , la numération consiste à ajouter toujours uue unité de plus , et à donner au nombre total , regardé comme compris dans une seule Idée , un nom on un signe nouveau ou distinct , par où l'on puisse le discerner de ceux qui sont devant et après, et le distinguer de chaque multitude d'unités qui est plus petite ou plus grande. De sorte que celui qui sait ajouter un à un , et ainsi il deux , et avancer de cette manière en marquant toujours en lui-même les noms distincts qui appartiennent à chaque progression, et qui , d'autre part, étant une unité de chaque collection , peut les diminuer autant qu'il veut , celui-là est capable d’acquérir toutes les idées des nombres dont les noms sont en usage dans sa langue , ou qu'il

* ■ Par cette manière seule on ne saurait aller loin, car " la mémoire serait trop chargée , s'il tatlait retenir un - nom tout à fait nom eau pour chaque addition d'une « nouvelle unité. C’est pourquoi il faut un certain ordre « et une certaine réplication dans ces noms, en recom- « mettront suivant une certaine progression. »

peut nommer lui-même , quoique peut-être il n’en puisse pas connaître davantage. Car, comme les différents modes des nombres ne sont dans notre esprit que tout autant de combinaisons d'unités , qui ne changent point , et ne sont capables d’aucune autre différence que du plus ou du moins ', il semble que des noms ou des signes particuliers sont plus néccssairesà chacune de ces combinaisons distinctes , qu'à aucune autre espèce d’idées. La raison de cela est que sans de tels noms ou signes , à peine pouvons-nous fnire usage des nombres en comptant , surtout lorsque la combinaison est composée d'une grande multitude d'unités; car alors, il est difficile d'cmpêchcr que ccs unités jointes ensemble, sans qu'on ait distingué cette collection particulière par un nom ou un signe précis , il ne résulte un parfait chaos.

S 6. Autre raison pour établir cette nécessite.

C’est là , je crois , la raison pourquoi certains Américains , avec qui je me suis entretenu , et qui avalent d’ailleurs l’esprit assez vif et assez raisonnable , ne pouvaient , en aucune manière , compter comme nous jusqu'à mille, n’ayant aucune idée distincte de ce nombre, quoiqu’ils pussent compter jusqu'à vingt. C’est que leur langue peu abondante , et uniquement accommodée au peu de besoins d'une pauvre et simple vie , qui ne connaissait ni le négoce ni les mathématiques , n'avait point de mot qui signifiât mille; de sorte que lorsqu’ils étaient obligés de parler de quelque grand nombre , ils montraient les cheveux de leur tête , pour marquer en général une grande multitude qu'ils ne pouvaient nombrer : incapacité qui venait , si Je ne me trompe , de ce qu’ils manquaient de noms. Un voyageur* qui a été chez les Topinnmbous, nous apprend qu'ils n’avaient point de noms pour les nombres au-dessus de cinq, et que

1 « Cela se peut dire du temps et de la ligue droite , x niais nullement des figures et encore moins des nombres. « qui sont non. seulement différents en grandeur, mais " encore dissemblables, t'n nombre pair peut être parx tagé en deux également, et non pas un impair. Trois x et six sont des nombres triangulaires, quatre et neuf x sont des quartés, huit est un cube, etc. ; et cela a lieu x dans les nombres encore plus que dans les figures , car n deux ligures inégales peuvent être parfaitement sem-

« blahlcs l'une à l'autre, mais jamais deux nombres

« Communément on n'a pas d'idée distincte de ce qui est « semblable ou dissemblable ; ce qui fait voir que l'ap- - plication que fait fauteur de» modifications simples x ou mixtes a besoin d'étre redreaséc. >■

* Jean de I.ery, Histoire d’un voyage fait en la terre du Brésil , cbap. 30, pages 307, 3S3.