etc

Il suffit de considérer la sixième figure pour se persuader de ceci. Car les demi-cercles font connaître que A 2 est à A 4 , c'està-dire à l'appliquée 2 X , qui lui est égale , comme 2 X est à A 8 ; que A 18 est A 12 , c'est-à-dire à Vappliquée 18 X , comme 18 X est à A 8 , etc. ; qu'ainsi les rectangles A 2 par A 8 , et A 18 aussi par A 8, sont égaux aux carrés de 2 X et de 18 X, etc. , et par conséquent que ces tarrés sont entre eux comme ces rectangles.

Les parallèles sur A B et sur A C qui se coupent aux points X. X. X font encore sensiblement connaître le chemin que doit tenir ce corps. Elles marquent les endroits où il doit être en un t^el temps. Elles représentent enfin aux yeux la véritable grandeur du mouvement composé et de son accélération en un temps déterminé.

Supposant de nouveau qu'un corps se meuve de A vers C inégalement, aussi bien que de A vers B, si l'inégalité est pareille au commencement et toujours , c'est-à-dire , si l'inégalité de son mouvement vers C est semblable à celui vers B , ou s'il augmente avee la même proportion , la ligne qu'il décrira sera droite.

Mais si l'on suppose qu'il y ait inégalité dans l'augmentation ou dans la diminution des mouvements simples , quoique l'on suppose cette inégalité telle qu'on voudra, il sera toujours facile de trouver la ligne qui représente à l'imagination le mouvement composé des mouvements simples, en exprimant par des lignes ces mouvements, et en tirant à ces lignes des parallèles qui s'entrecoupent. Car la

ligne qui passera par toutes les intersections de ces parallèles représentera le mouvement composé de ces mouvements inégaux , et inégalement accélérés ou diminués.

Par exemple, si Ton suppose qu'un corps soit mù par deux forces égales ou inégales telles qu'on voudra, qu'un de ces mouvements augmente ou diminue toujours selon une progression géométrique ou arithmétique telle qu'on voudra, et que l'autre mouvement augmente ou diminue aussi selon une progression arithmétique ou géométrique telle qu'on voudra; pour trouver les points par les^ quels doit passer la ligne qui représente aux yeux et à l'imagination le mouvement composé de ces mouvements, voici ce qu'il y ^

à faire.

Il faut d'abord tirer, comme l'on a dit, les deux lignes A B et A C, pour exprimer les deux mouvements simples, et diviser ces lignes selon la supposition de ïaccélércUion de ces mouvements. Si l'on suppose que le mouvement exprimé par la ligne A C augmente on diminue selon une progression arithmétique 1, 2, 3, 4, 5, il faut la diviser aux points marqués 1, 2, 3, 4, 6; et si l'on suppose que le mouvement exprimé par la ligne A B augmente selon la progression double 1, 2, 4, 8, 16, ou diminue selon la progression sous-double 4, 2, 1, J-, 4", -J-, il faut la diviser aux points marqués 1, 2, 4, 8 16 ouV, 2* 1, 4-, -^, -ff-* Ensuite il faut tirer par ces divisions des parallèles k A B et à A C ; et la ligne A E , qui doit exprimer le mouvement composé que Ton cherche, passera nécessairement par tous les points où ces parallèles s'entrecouperont. Et ainsi l'on voit le chemin que ce corps mû doit tenir.

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Si Ton veut connaître exactement combien il y a de temps que ce corps a commencé d'être remué lorsqu'il est arrivé à un tel point, les parallèles tirées de ce point sur A B ou sur A G le marqueront , car les divisions de A B et de A G marquent le temps. De même , si Ton veut savoir le point où ce corps sera arrivé en un tel temps , les parallèles tirées des divisions des lignes A B et A G, qui représentent ce temps, marqueront par leur intersection ce point que Ton cherche. Pour l'éloignement du lieu d'où il a commencé à se mouvoir, il sera toujours facile de le connaître en tirant une ligne de ce point vers A, car la longueur de cette ligne se connaîtra par rapport à A B ou à A G qui sont connues. Mais pour la longueur du chemin que ce corps aura fait pour arriver à ce point , il sera difficile de la connaître, à cause que la ligne de son mouvement A £ étant courbe , on ne peut la rapporter à aucune de ces lignes droites.

Que si l'on voulait déterminer les points infinis par lesquels ce corps doit passer , c'est-à-dire décrire exactement , et par un mouvement continu , la ligne A E , il serait nécessaire de se faire un compas dont le mouvement des jambes fût réglé , selon les conditions exprimées dans les suppositions que l'on vient de faire. Ge qui est souvent très-difficile à inventer, impossible à exécuter, et assez inutile pour découvrir les rapports que les choses ont entre elles, puisque l'on n'a pas d'ordinaire besoin de tous les points dont cette ligne est composée, mais seulement de quelques-uns qui servent à conduire l'imagination lorsqu'elle considère de tels mouvements.

Ges exemples suffisent pour faire connaître que l'on peut exprimer par lignes , et représenter ainsi à Timagination la plupart de nos idées; et que la géométrie, qui apprend à faire toutes les comparaisons nécessaires pour connaître les rapports des lignes, est d'un usage beaucoup plus étendu qu'on ne le pense ordinairement. Gar enfin l'astronomie, la musique, les mécaniques et généralement toutes les sciences qui traitent des choses capables de recevoir du plus ou du moins, et par conséquent que l'on peut regarder comme étendues, c*est-à-dire, toutes les sciences exactes, se peuvent rapporter à la géométrie , parce que toutes les vérités spéculatives ne consistant que dans les rapports des choses et dans les rapports qui se trouvent entre leurs rapports , elles se peuvent toutes rap-

porter à des lignes. On en peut tirer géométriquement plusieurs conséquences; et ces conséquences étant rendues sensibles par les lignes qui, les représentent, il n'est presque pas possible de se tromper, et l'on peut pousser les sciences fort loin avec beaucoup de facilité.

La raison, par exemple, pour laquelle on reconnaît très-distinctement et Ton marque précisément dans la musique une octave, une quinte, une quarte, c'est que Ton exprime les sons avec des cordes exactement divisées , et que Ton sait que la corde qui sonne Toctave est en proportion double avec Tautre avec laquelle se fait Toctave ; que la quinte est en proportion sesquialtère ou de trois à deux, et ainsi des autres. Car l'oreille seule ne peut juger des sons avec la précision et la justesse nécessaire à une science. Les plus habiles praticiens, ceux qui ont l'oreille la plus délicate et la plus fine , no sont pas encore assez sensibles pour reconnaître la différence qu'il y a entre certains sons; et ils se persuadent faussement qu'il n'y en a point , parce qu'ils ne jugent des choses que par le sentiment qu'ils en ont. II y en a qui ne mettent point de différence entre une octave et trois ditons*. Quelques-uns même s'imaginent que le ton majeur n'est point différent du ton mineur ; de sorte que le comma^ qui en est la différence, leur est insensible, et à plus forte raison le schisma, qui n'est que la moitié du comma.

II n'y a donc que la raison qui nous fasse manifestement voir que l'espace de la corde, qui fait la différence entre certains sons, étant divisible en plusieurs parties , il peut y avoir encore un très-grand nombre de différents sons utiles et inutiles pour la musique, lesquels l'oreille ne peut discerner. D'où il est clair que sans l'arithmétique et la géométrie la musique régulière et exacte nous serait inconnue, et que nous ne pourrions réussir en cette science que par hasard et par imagination; c'est-à-dire que la musique ne serait plus une science fondée sur des démonstrations incontestables, quoique les airs que l'on compose par la force de l'imagination soient plus beaux et plus agréables aux sens que ceux que l'on compose par les règles.

De même dans les mécaniques la pesanteur de quelques poids et

I Tierce majeure.

DB L.\ METHODE. — l'« PABTIE. 547

la distance du centre de pesanteur de ce poids d'avec le soutien étant ca))able du plus et du moins, Tune et Tautre se peuvent exprimer par des lignes. Ainsi , Ton se sert utilement de la géométrie pour découvrir et pour démontrer une infinité de nouvelles inventions irès-utiles à la vie, et même très-agréables à Tesprit à cause de révidence qui les accompagne.

Si , par exemple, on a un poids donné , comme de six livres, que Ton veuille mettre en équilibre avec un poids de trois livres seulement, et que ce poids de six livres soit attaché au bras d'une balance éloigné du soutien de deux pieds; sachant seulement le principe général de toutes les mécaniques : que les poids pour demeurer en équilibre doivent être en proportion réciproque avec leur distance du soutien^ c'est-à-dire qu'un poids doit être à l'autre poids comme la distance qui est entre le dernier et le soutien est à la distance du premier d'avec le même soutien, il sera facile de trouver , par la géométrie , quelle doit être la distance du poids de trois livres afin que tout demeure en équilibre , en trouvant , selon la douzième proposition du sixième livre d*£udide, une quatrième ligne proportionnelle qui sera de quatre pieds. De sort» que, sachant seulement le principe fondamental des mécaniques, on peut découvrir avec évidence toutes les vérités qui en dépendent ea appliquant la géométrie à la mécanique , c'est-à-dire en exprimant sensiblement par des lignes toutes les choses que l'on considère dans les mécaniques.

Les lignes et les figures de géométrie sont donc très-propres pour représenter à l'imagination les rapports qui sont entre les grandeurs ou entre les choses qui diffèrent du plus et du moins , comme les espaces, les temps, les poids, etc. , tant à cause que ce sont des objets très-simples qu'à cause qu'on les imagine avec beaucoup de facilité. On pourrait même dire, à l'avantage de la géométrie, que les lignes peuvent représenter à l'imagination plus de choses que l'esprit n'en peut connaître , puisque les lignes peuvent exprimer les rapports des grandeurs incommensurables, c'est-à-dire des grandeurs dont on ne peut connaître les rapports, à cause qu'elles n'ont aucune mesure par laquelle on en puisse faire la comparaison. Mais cet avantage n'est pas fort considérable pour la recherche de la vérité , puisque ces expressions sensibles des grandeurs incomr

548 LIVBS SlXliMS.

mensurables ne découvrent point distinctement à Tesprit leur véritable grandeur.

La géométrie est donc très-utile pour rendre l*esprit attentif aux choses dont on veut découvrir les rapports; mais il faut avouer qu'eHe nous est quelquefois occasion d'erreur, parce que nous nous occupons si fort des démonstrations évidentes et agréables que cette science nous fournit , que nous ne considérons pas assez la nature. C'est principalement pour cette raison que toutes les machines qu'on invente ne réussissent pas, que toutes les compositions de musique où les proportions des consonnanc^ sont ïe mieux observées ne sont pas les plus agréables, et que les supputations îes plus exactes dans l'astronomie ne prédisent quelquefois pas mieux la grandeur et le temps des éclipses. La nature n'est point abstraite : les leviers et les roues des mécaniques ne sont pas des lignes et des cercles mathématiques ; nos goûts pour les airs de musique ne sont pas toujours les mêmes dans tous les hommes , ni dans les mêmes hommes en différents temps ; ils changent selon les différentes émotions des esprits, de sorte qu'il n'y a rien de si bizarre. Enfin, pour ce qui regarde l'astronomie , il n'y a point de parfaite régularité dans le cours des planètes ; nageant dans ces grands espaces , elfes sont emportées irrégulièrement par la matière ffuide qui les environne. Ainsi , les erreurs où Ton tombe dans Pastronomie , les mécaniques, la musique, et dans toutes les sciences auxquelles on applique la géométrie, ne viennent point de la géométrie, qui est une science incontestable, mais de la fausse application qu'on en foit.

On suppose , par exemple , que les planètes décrivent par leurs mouvements des cercles et des ellipses parfaitement régulières ; ce qui n'est point vrai. On fait bien de le supposer, afin de raisonner, et aussi parce qu'il s'en faut peu que cela ne soit vrai ; mafs on doit toujours se souvenir que le prmcipe sur lequel on raisonne est une supposition. I>e même, dans les mécaniques on suppose que les roues et les leviers sont parfaitement durs et semblables à des lignes et à des cercles mathématiques sans pesanteur et sans frottement; ou plutôt on ne considère pas assez leur pesanteur, leur frottement , leur matière , ni le rapport que ces choses ont entre elles ; que la dureté ou la grandeur augmente la pesanteur, que la

pesanteur augmente le frottement, que le frottement diminue la force, qu'elle rompt ou use en peu de temps la machine, et qu'ainsi ce qui réussit presque toujours en petit ne réussit presque jamais en grand.

Il ne faut donc pas s'étonner si on se trompe , puisque l'on veut raisonner sur des principes qui ne sont point exactement connus ; cl il ne faut pas s'imaginer que la géométrie soit inutile à cause qu'elle ne nous délivre pas de toutes nos erreurs. Les suppositions établies, elle nous fait raisonner conséquemment. Nous rendant altentife à ce que nous considérons, elle nous le fait connaître évidemment. Nous reconnaissons même par elle si nos suppositions sont fausses : car étant toujours certains que nos raisonnements sont vrais , et l'eipérience ne s' accordant point avec eux , nous découvrons que les principes supposés sont faux. Mais sans la géométrie et l'arithmétique on ne peut rien découvrir dans les sciences exactes qui soit un peu difficile, quoiqu'on ait des principes certains et incontestables.

On doit donc regarder la géométrie comme une espèce de science universelle qui ouvre l'esprit, qui le rend attentif, et qui lui donne l'adresse de régler son imagination et d'en tirer tout le secours qu'il en peut recevoir : car, par le secours de la géométrie, l'esprit règle le mouvement de l'imagination , et l'imaginationVéglée soutient la vue et l'application de l'esprit.

Mais , afin que l'on sache faire un bon usage de la géométrie , il faut remarquer que toutes les choses qui tombent sous l'imagination ne peuvent pas s'imaginer avec une égale facilité ; car toutes les images ne remplissent pas également la capacité de l'esprit. Il est plus difficile d'imaginer un solide qu'un plan, et un plan qu'une simple ligne : car il y a plus de pensée dans la vue claire d'un solide que dans la vue claire d'un plan et d'une ligne. Il en est de même des différentes lignes; il faut plus de pensée, c'est-à-dire plus de capacité d'esprit, pour se représenter une ligne parabolique ou elliptique , ou quelques autres plus composées, que pour se représenter la circonférence d'un cercle , et plus pour la circonférence d'un cercle que pour une ligne droite, parce qu'il est plus difficile d'imaginer des lignes qui se décrivent par des mouvements fort composés et qui ont plusieurs rapports, que celles qui se décrivent par des mouvements très-simples ou qui ont moins de rap-

[)ortâ. Car les rapports ne pouvant être clairement aperçus sans l'attention de l'esprit à plusieurs choses, il faut d'autant plus de pensée pour les apercevoir qu'ils sont en plus grand nombre. Il y a donc des figures si composées que l'esprit n'a point assez d'étendue pour les imaginer distinctement ; mais il y en a aussi d'autres que l'esprit imagine avec beaucoup de facilité.

Des trois espèces d'angles rectilignes, l'aigu , le droit et l'obtus , il n'y a que le droit qui réveille dans l'esprit une idée distincte et bien terminée. Il y a une infinité d'angles aigus qui diffèrent tous entre eux ; il en est de même de ceux qui sont obtus. Ainsi , lorsqu'on imagine un angle aigu ou un angle obtus, on n'imagine rien d'exact ni rien de distinct. Mais lorsqu'on imagine un angle droit , on ne peut se tromper : l'idée en est bien distincte, et l'image même que l'on s'en forme dans le cerveau est d'ordinaire assez juste.

Il est vrai qu'on peut aussi déterminer l'idée vague d'angle aigu à l'idée particulière d'un angle de trente degrés, et que l'idée d'un angle de trente degrés est aussi exacte que celle d'un angle de 90 , c'estrà-dire d'un angle droit. Mais l'image que l'on tâcherait de s'en former dans le cerveau ne serait point , à beaucoup près , si juste que celle d'un angle droit. On n'est point accoutumé a se représenter cette Image, et on ne peut la tracer qu'en pensant à un cercle ou à une partie déterminée d'un cercle divisé en parties égales. Mais, pour imaginer un angle droit, il n'est point nécessaire de penser à cette division de cercle ; là seule idée de perpendiculaire suffit à l'imagination pour tracer l'image de cet angle , et l'on ne sent aucune difficulté a se représenter des perpendiculaires, parce qu'on est accoutumé à voir toutes choses debout.

Il est donc facile de juger que pour avoir un objet simple , distinct , bien terminé, propre pour être imaginé avec facilité , et par conséquent pour rendre l'esprit attentif et lui conserver l'évidence dans les vérités qu'il cherche , il faut rapporter toutes les grandeurs que nous considérons à de simples surfaces terminées par des lignes et par des angles droits , conune sont les carrés parfaits et les autres figures rectangles , ou bien à de simples lignes droites , car ces figures sont celles dont on connaît plus facilement la nature.

J'aurais pu attribuer aux sens le secours que l'on tire de la géo-

DE £À MÉTHODK. — I'* PARTIE. 551

mélrie pour conserver l'attention de l'esprit ; mais j'ai cru que la géométrie appartenait davantage à l'imagination qu'aux sens , quoique les lignes soient quelque chose de sensible. Il serait assez inutile de déduire ici les raisons que j'ai eues, puisqu'elles ne serviraient qu'à justifier l'ordre que j'ai gardé dans ce que je viens de dire, ce qui n'est point essentiel. Je n'ai point aussi parlé de l'arithmétique ni de l'algèbre, parce que les chiffres et les lettres de l'alphabet dont on se sert dans ces sienees ne sont pas si utiles pour augmenter l'attention de l'esprit que pour en augmenter rétendue , ainsi que nous expliquerons dans le chapitre suivant.

Voilà quels sont les secours généraux qui peuvent rendre Pesprit plus attentif. On n'en sait point d'autres , si ce n'est la volonté d'avoir de l'attention; de quoi on ne parle pas, parce qu'on suppose que tous ceux qui étudient veulent être attentifs à ce qu'ils «étudient.

Il y en a néanmoins encore plusieurs qui sont particuliers à certaines personnes, comme sont certaines boissons, certaines viandes, certains lieux, certaines dispositions du corps, et quelques autres secours dont chacun doit s'instruire par sa propre expérience. Il faut observer l'état de son hnagination après le repas et considérer quelles sont les choses qui entretiennent ou qui dissipent l'attention de son esprit. Ce qu'on peut dire de plus général , c'est que l'usage modéré des aliments qui font beaucoup d'esprits animaux est trèspropre pour augmenter l'attention de l'esprit et la force de l'imagination dans ceux qui Tout faible et languissante.