A I II III IV

I . Du point A, (jue l on suppose être celui d'où ce corps commence <i se mouvoir, on doit tirer d'abord les lignes indéfinies AB, AC, (fui font l'angle BAC si elles se coupent ; car AB et AC sont directes et ne se coupent pas lorsque les mouvements qu'elles expriment sont directement opposés. L'onreprésente ainsi distinclementà l'imagination ou, si on lèvent, aux sens, le chemin que suivrait ce corps s'il n'\ avait qu'une de ces forces qui le poussât vers quelqu'un des côtés A ou B.

i. Si la force (fui meut ce corps vers B est égale à celle qui le meut vers C, on doit couper dans les lignes AB et AC des parties \, 2, 3, i, et I, II, m, iv, également éloignées de A. Si la force qui le meut vers B est double de celle qui le meut vers C , l'on coupe les parties dans AB doubles de celles que l'on coupe dans AC. Si cette force est sous-double , on les coupe sous-doubles ; si trois fois plus grande ou plus j)etite , on les coupe trois fois plus grandes ou plus petites. Les divisions de ces lignes expriment encore à l'imaginatioD la grandeur des ditlérentes forces qui meuvent ce corps, et en même temps l'espace qu'elles sont capables de lui faire parcourir.

3. L'on tire par ces divisions des parallèles sur AB et sur AC, afin d'avoir les lignes IX, 2X, 3X, etc. égales à Ai, Aiii, etc., etiX, iiX , iiiX égales à AI , A'2 , A.3 , qui expriment les espaces que ces forces sont capables de faire parcourir à ce corps, et par les intersections de ces parallèles on tire la ligne AXYÈ, laquelle représente à Timagination : premièrement , la véritable grandeur du mouvement composé de ce corps, que l'on conçoit poussé en même temps vers B et vers C par deux forces ditîérentes, selon une telle proportion ; secondement , le chemin qu'il doit tenir ; enfin tous les lieux où il doit être dans un temps déterminé ; de sorte que cette ligne sert non-seulement à soutenir la vue de l'esprit dans la recherche de toutes les vérités qu'on veut découvrir sur la question proposée , elle en représente même la résolution d'une manière sensible et convaincante.

Premièrement, cette ligne AXVE exprime la véritable grandeur du mouvement composé ; car Ton voit sensiblement que , si les forces qui le produisent peuvent chacune faire avancer ce corps d'un pied en une minute, son mouvement composé sera de deux pieds en une minute si les mouvements composants s'accordent parfaitement; car, dans ce cas, il sufiit d'ajouter AB à AC, parce (pie les forces des mouvements composants sont entièrement em- ])loyées à former le mouvement composé; et si ces mouvements no peuvent s'accorder entièrement, le conjposé AK sera plus ij/vmd que TiMi (les conqiosants AB ou AC de la ligne VE. Mais si ces

DE LA MÉTHODE. — I" PARTIE. dit

mouvt^ments se font par deux lignes qui fassent l'nngle CAB , dé 420 degrés, le composé sera égal à chacun des composants égaus: Enfin si ces mouvements sont entièrement opposés, le composé sera nul, parce que les forces des mouvements composants étant égales, elles font équilibre.

Secondement, cette ligne AXYE représente à l'imagination le chemin que doit suivre le corps , et Ton voit sensiblement seldli quelle proportion il avance plus d'un côté que de l'autre. On voit aussi que tous les mouvements: composés sont droits lorsque chacun des composants est toujours le même, quoiqu'ils soient inégaux entre eux; ou bien lorsque les composants sont toujours égaux' entre eux, quoiqu'ils ne soient pas toujours les mêmes. Enfin il est visible que les lignes que décrivent ces mouvements sont courbes lorsque les composants sont inégaur entre eux, et ne sont pas toujours les mêmes.

Enfin cette ligne représente à l'imagination tous les lieux oîi ce corps, poussé par deux forces différentes vers deux différents endroits, doit se trouver : de sorte que l'on peut marquer précisément le point où ce corps doit être dans tel instant qu'on voudra. Si l'on veut savoir, par exemple, où il doit se trouver au commencement de la quatrième minute, il n'y a qu'à diviser les lignes A B ou AC en des parties qui expriment l'espace que ces forces connues seraient capables chacune en particulier de faire parcourir à ce corps dans une minute ; et prendre trois de ces parties dans quelqu'une de ces lignes, et tirer ensuite par le commencement de la quatrième 3 X parallèle à A B, ou m X parallèle à A C. Car il est évident que le point X, que l'une ou l'autre de ces parallèles déteroiine dans la ligne AXYE, marque l'endroit où ce corps se trouvera au commencement de la troisième minute de son mouvement. Ainsi cette manière d'examiner les questions ne soutient pas seule^ ment la vue de l'esprit, elle lui en montre même la résolution; et elle lui donne assez de lumière pour découvrir les choses inconnues par fort peu de choses connues.

II suffit, par exemple, après ce qu'on a dit, que l'on sache seulement qu'un corps qui était en A dans un tel temps se trouve en E dans un autre, et que les forces différentes le poussent par des lignes qui fassent un angle donné tel que BAC, pour découvrir la ligne de son mouvement composé , et les différents degrés de vitesse des mouvements simples, pourvu que l'on sache que ces mouvements soient égaux entre eux ou uniformes. Car quand on a deux points d'une ligne droite, on l'a tout entière; et l'on peut comparer la ligne droite AE, ou le mouvement composé qui est

connu, avec les lignes A B et A C, c'est-à-dire avec les mouvemenU simples qui sont inconnus.

Si l'on suppose de nouveau qu'une pierre soit poussée de A * vers B par un mouvement uniforme, mais qu'elle descende versC, infiniment éloigné du point A, par un mouvement inégal, semblable à celui dont on croit ordinairement que les corps pesants tendent au centre de la terre, c'est-à-dire que les espaces qu'elle parcourt soient entre eux comme les carrés des tempà qu'elle emploie à les parcourir, la ligne qu'elle décrira sera. toujours une parabole, et l'on pourra déterminer dans la dernière exactitude le point oii elle sera dans un tel moment de son mouvement.

l. Voyez la figure suivante.

ft14 LIVRE SIXIÈME.

Car si dans ce promior moment ce corps tombe de deux pieds de A vers C, dans le sorond de six , dans le troisième de dix, dans le quatrième do quatorze, et qu'il soit poussé par un mouvement uniforme de A vers B, qui est de la longueur de seize pieds, il est visible que la ligne qu'il décrira sera une parabole dont le paramètre sera long de huit pieds. Car le carré des appliquées ou ordonnées au diamètre, lesquelles marquent les temps et le mouvement réglé de A vers B, sera égal au rectangle du paramètre par les lignes qui marquent les mouvements inégaux et accélérés : el les carrés des appliquées, c'est-à-dire les carrés des temps, seront entre eux comme les parties du diamètre comprises entre le pôle H les appliquées.

6i: 144 :: s :i8. etc.

Il suffit de considérer la sixième figure pour se persuader do ceci. Car les demi-cercles font connaître que A 2 est à A 4, c'està-dire, à ^appliquée i X, qui lui est égale, comme 2 X est à A 8: ({ue A 18 est A 12, c'est-à-dire à V appliquée 18 X, comme 18 X est à A 8, etc.; qu'ainsi les rectangles A 2 par A 8 , et A 18 aussi par A 8, sont égaux aux carrés de 2 X, et de 18 X, etc., et par conséquent que ces carrés sont entre eux comme ces rectangles.

Les parallèles sur A B et sur A C qui se coupent aux points X. X. X font encore sensiblement connaître le chemin que doit tenir ce corps. Elles marquent les endroits où il doit être en un tel tem])s. Elles représentent enfin aux yeux la véritable grandeur du mouvement composé et de son accélération en un temps déterminé.

Supposant de nouveau qu'un corps se meuve de A vers C inégalement, aussi bien que de A vers B , si l'inégalité est pareille au commencement et toujours, c'est-à-dire, si l'inégalité de son mouvement vers C est semblable à celui vers B, ou s'il augmente avec la môme proportion, la ligne qu'il décrira sera droite.

Mais si l'on sujipose qu'il y ait inégalité dans l'augmentation ou dans la diminution des mouvements simples, quoique l'on supposicette inégalité telle qu'on voudra, il sera toujours facile de trouver In ligne qui représente à l'imagination le mouvement composé de> mouvements simples, en exprimant par des lignes ces mouvenienb. et en tirant à ces lignes des parallèles qui s'entrecoupent. Car la ligne qui passera par toutes les intersections de ces parallèles représentera le mouvement composé de oe^ mouvements inégaux, •'' inégalement accélérés ou diminués.

Par exemple; si l'on suppose qu'un corps soit mu par deux forcée égales ou inégales telles qu'on voudra , qu'un de ces mouvements augmente ou diminue toujours selon une progressioil géométrique oii arithmétique telle qu'on voudra, et que l'autre liibuvement ëugmente ou diminue aussi selon utie progression arithmétique ou géométricjue telle qu'on voudra ; pour trouveh les points par lesquels doit passer la ligne qui représente aux yeiix et à l'irtiaglnation le mouvement composé de ces mouvements, voici fce qu'il y h à faire.

Il faut d'abord tir^r. tx)mme l'ori û dit, les dèiix ligties A B et À C, pour exprimer les deux tnouveitierits simples ; et divisèi* cè^ lignes selon la supposition de ïaccélératibh dé fces tttbdvementâ. Si l'on suppose qne le mouvertieiit exJpHmé psib la ligné A C atigmentë oil diminue selon une progt-essibii arithuiétlqué 1, 2; 3, ij 5, ilfîâut \à diviser aux points marqués 1 , 2, 3, 4, B ; et si l'dh sup^dâé (Juë le mouvement exprimé par la ligné A B âUgnlëlite seldti là {)i'bgreâSion double 4,2; 4, B, 16, ou diminue selon là {irogressiôtt sblié-dbuble -4» 2, 4,^,{, f, il féut la diviser aux t)oints marqués 1, 2, 4, 8, 46', ou 4, 2, 4; J ; {, {. Ensuite 11 faut tirer t)at* ces dtvifeions des parallèles à A B et à A C; et la ligne AE; qui doit exprimer le niôuvement composé que l'on cherche, passet-a tiécessàirbmeht par tous les points oii ces parallèles s'entrecouperont. Et ainsi l'ott Vbil le chemin que ce corps mû doit tenir.

Ai a -^

fe.

Si l'on veut connaître exactement combien il y a de temps cjue ce corps a commencé d'être remué lorsqu'il est arrivé à un tel |)ointt les parallèles tirées de ce point siir A B ou sur A C. le nvar-'

queront, car les divisions de A B et de A C marquent le temps. De même, si l'on veut savoir le point où ce corps sera arrivé en un tel temps, les parallèles tirées des divisions des lignes A B et A C, qui représentent ce temps, marqueront par leur intersection ce point que l'on cherche. Pour l'éloignement du lieu d'où il a commencé à se mouvoir, il sera toujours facile de le connaître en tirant une ligne de ce point vers A, car la longueur de cette ligne se connaîtra par rapport à A Bou à A C qui sont connues. Mais pour la longueur du chemin que ce corps aura fait pour arriver à ce point, il sera difficile de la connaître, à cause que la ligne de son mouvement A E étant courbe, on ne peut la rapporter à aucune de ces lignes droites. Que si l'on voulait déterminer les points mfinis par lesquels ce corps doit passer , c'est-à-dire décrire exactement, et par un mouvement continu , la ligne A E ; il serait nécessaire de se faire un compas dont le mouvement des jambes fût réglé , selon les conditions exprimées dans les suppositions que l'on vient de faire. Ce qui est souvent très-difficile à inventer, impossible à exécuter, et assez inutile pour découvrir les rapports que les choses ont entre elles, puisque Ton n'a pas d'ordinaire besoin de tous les points dont cette ligne est composée, mais seulement de quelques-uns qui servent à conduire l'imagination lorsqu'elle considère de tels mouvements.

Ces exemples suffisent pour faire connaître que l'on peut exprimer par lignes, et représenter ainsi à l'imagination la plupart de nos idées; et que la géométrie, qui apprend à faire toutes les comparaisons nécessaires pour connaître les rapports des lignes, est d'un usage beaucoup plus étendu qu'on ne le pense ordinairement, (^ar enfin l'astronomie, la musique, les mécaniques et généralement toutes les sciences qui traitent des choses capables de recevoir du plus ou du moins, et par conséquent que l'on peut regarder comme étendues, c'est-à-dire, toutes les sciences exactes, se peuvent rapporter à la géométrie, parce que toutes les vérités spéculatives ne consistant que dans les rapports des choses et dans les rapports qui se trouvent entre leurs rapports, elles se peuvent toutes rapporter à des lignes. On en peut tirer géométriquement plusieurs conséquences ; et ces conséquences étant rendues sensibles par les lignes qui les représentent, il n'est presque pas possible de se tromper , et l'on peut pousser les sciences fort loin avec beaucoup de facilité.

La raison , par exemple , pour laquelle on reconnaît très-distinctement et l'on marque précisément dans la musique une octave, une quinte, une quarte, c'est que l'on exprime les sons avec des

cordes exactemenl divisées, et que l'on sait que la corde qui sonne Toctave est en proportion double avec l'autre avec laquelle se fait l'octave; que la quinte est en proportion sesquialtère ou de trois à deux, et ainsi des autres. Car l'oreille seule ne peut juger des spns avec la précision et la justesse nécessaire à une science. Les plus habiles praticiens , ceux qui ont l'oreille la plus délicate et Ja plus fine , ne sont pas encore assez sensibles pour reconnaître la différence qu'il y a entre certains sons ; et ils se persuadent faussement qu'il n'y en a point, parce qu'ils ne jugent des choses que par le sentiment qu'ils en ont. Il y en a qui ne mettent point de différence entre une octave et trois ditons ». Quelques-uns même s'imaginent qi|e,le ton majeur n'est point différent du ton mineur^ de sorte que le cmnma, qui en est la différence, leur est insensible, et à plus forte raison le schisma, qui n'est que la moitié du comma.

Il n'y a donc que la raison qui nous fasse manifestement voir que l'espace de la corde, qui fait la différence entre certains sons, étant divisible en plusieurs parties, il peut y avoir encore un trèsgrand nombre de différents sons utiles et inutiles pour la musique, lesquels l'oreille ne peut discerner. D'où il est clair que sans l'arithmétique et la géométrie la musique régulière et exacte nous serait inconnue, et que nous ne pourrions réussir en cette science que par hasard et par imagination ; c'est-à-dire que la musique ne serait plus une science fondée sur des démonstrations incon- , testables, quoique les airs que l'on compose par la force de l'imagination soient plus beaux et plus agréables aux sens que ceux que Ton compose par les règles.

De même dans les mécaniques la pesanteur de quelques poids et la distance du centre de pesanteur de ce poids d'avec le soutien étant capable du plus et du moins, l'une et l'autre se peuvent ex-primer par des lignes. Ainsi, Ton se sert utilement de la géométrie pour découvrir et pour démontrer une infinité de nouvelles inventions très-utiles à la vie, et même très-agréables à l'esprit à cause de l'évidence qui les accompagne.

Si, par exemple, on a un poids donné, comme de six livres, que Ton veuille mettre en équilibre avec un poids de trois livres seulement, et que ce poids de six livres soit attaché au bras d'une balance éloigné du soutien de deux pieds ; sachant seulement le principe général de toutes les mécaniques : que les poids pour demeurer en équilibre doivent être en proportion réciproque avec leur distance du soutien ^ c'est-à-dire qu'un poids doit êtri à l'autre poids comme la distance qui est entre le dernier et le soutien