CHAPITRE V

Des moyens d'augmenter rétendue et la capacité de l'esprit. Que l'arithmétique et l'algèbre y sont absolument nécessaires.

n ne faut pas s'imaginer d'abord que l'on puisse jamais augmenter véritablement la capacité et l'étendue de son esprit. L'àme de l'homme est pour ainsi dire une quantité déterminée ou une portion de pensée qui a des bornes qu'elle qe peut passer; l'âme II. 41

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ne peut devenir plus grande ni plus étendue qu'elle est ; elle ne s'enlle ni ne s'étend pas de même qu'on le croit des liqueurs et des métaux; enfin il me paraît qu'elle n'aperçoit jamais davantage en un temps qu'en un autre.

11 est vrai que cela semble contraire à l'expérience. Souvent on I>ense à beaucoup d'objets; souvent on ne pense qu'à un seul, et souvent môme on dit que l'on ne pense à rien. Cependant si l'on considère que la pensée est à l'àme ce que l'étendue est au corps, on reconnaîtra manifestement que de même qu'un corps ne peut véritablement être plus étendu en un temps qu'en un autre, ainsi à le bien prendre , l'àme ne peut jamais penser davantage en un temps qu'en un autre, soit qu'elle aperçoive plusieurs objets, soit qu'elle n'en aperçoive qu'un seul , soit même dans le temps que Ton dit qu'on ne pense à rien.

Mais la cause pour laquelle on s'imagine que l'on pense plus en un temps qu'en un autre , c'est qu'on ne distingue pas assez entre apercevoir confusément et apercevoir distinctement. Il faut sans doute beaucoup plus de pensée, ou que la capacité qu'on a de penser soit plus remplie, pour apercevoir plusieurs choses distinctement que pour n'en apercevoir qu'une seule; mais il ne faut pas davantage de pensée pour apercevoir plusieurs choses conftisément que pour en apercevoir une seule distinctement. Ainsi, il n'y a pas plus de pensée dans l'àme lorsqu'elle pense à plusieurs objets que lorsqu'elle ne pense qu'à un seul, puisque si elle ne pense qu'à un seul elle aperçoit toujours beaucoup plus clairement que lorsqu'elle s'applique à plusieurs.

Car il faut remarquer qu'une perception toute simple renferme quelquefois autant de pensée, c'est-à-dire qu'elle rempHt autant de la capacité que l'esprit a de pent^er, qu'un jugement et même qu'un raisonnement composé, puisque l'expérience apprend qu'une perception simple, mais vive, claire et évidente d'une seule chose, nous applique et nous occupe autant qu'un raisonnement composé, ou que la perception obscure et confuse de plusieurs rapports entre plusieurs choses.

Car de même qu'il y a autant ou plus de sentiment dans la vue sensible d'un objet que je tiens tout proche de mes yeux et que j'examine avec soin que dans la vue d'une campagne entière que je regarde avec négligence et sans attention, de sorte que la netteté du sentiment que j'ai de l'objet qui est tout proche de mes yeux récompense l'étendue du sentiment confus que j'ai de plusieuR choses que je vois sans attention dans une campagne; ainsi la vue que l'esprit a d'un seul objet est ([uelquefois si vive et si distincte

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qu'elle renferme autant ou môme plus de pensée que la vue des rapports qui sont entre plusieurs choses.

Il est vrai qu'en certains temps il nous semble que nous ne pensons qu'à une seule chose, et que cependant nous ayons de la peine à la bien comprendre ; et que dans d'autres temps nous comprenons cette chose et plusieurs autres avec une très-grande facilité. Et de là nous nous imaginons que Tàme a plus d'étendue ou Une plus grande capacité de penser en un temps qu'en un autre. Mais il est visible que nous nous trompons. La raison pour laquelle , en de certains tem{te , nous avons de la peine à concevoir les (choses les plus faciles, n'est pas que la pensée de l'âme, ou sa capacité pour penser, soit diminuée ; mais c'est que cette capacité est remplie par quelque sensation vive de douleur ou de plaisir, ou par tin grand nombre de sensations faibles et obscures , qui font une espèce d'étourdissement; car l'étourdissement n'est d'ordinaire qu'un sentiment confus d'un très-grand nombre de choses.

Un morceau de cire est capable d'une fîgure bien distinbte : il n'en peut recevoir deux que l'unç ne confonde l'autre, car il ne peut être entièrement rond daris le même temps; enfin, s'il en reçoit un million, il n'y en aura aucune de distincte. Or, si ce morceau de cire était capable de connaître ses propres figures, il ne pourrait toutefois savoir quelle figure le terminerait j si le nombre en était trop grand; Il en est de même de notre âme : lorsqu'un très-grand nombre de modifications remplissent sa capacité , elle ne les peut apercevoir distinctement, parce qu'elle ne les sent point séparément. Ainsi, elle pense cju'elië ne sent rien; Elle ne petit dire qu'elle sente de la douleur, du plaisir, de la lumière^ du son, des saveurs : ce n'est rien de tout cela , et cependant ce n'est que cela qu'elle sent.

Mais 4uand nous supposerions que l'âme ne serait {ioint soumise au mouvement confus et déréglé des esprits animaux, et qu'elle serait tellement détachée de son corps que ses pensées ne dépendraient l[)oint de ce qui s'y passe ^ il pourrait encore arriver qtie nous comprendrions avec plus de facilité certaines choses en un temps qu'en un autre , sans que la capacité de notre âme diminuât ni qu'elle augmentât; parce qu'alors nous penserions à d'autres choses en particulier, ou à l'être indéterminé et en général. Je m'explique.

L'idée générale de l'infini est inséparable de l'esprit , et elle en occupe entièrement là capacité lorsqu'il ne pense point à quelque chose de partibulier. Car, quand nous disons que nous ne pensons à rien, cela ne veut pas dire que nous ne pensions pas à cette idée

à%tk LIVRE SIXIÈME.

j^éiiérale, mais simplement que nous ne pensons pas à quelque chose en particulier.

Certainement, si cette idée ne remplissait pas notre esprit, nous ne pourrions pas penser à toutes sortes de choses , comme nous le pouvons; car enfin on ne peut penser aux choses dont on n'a aucune connaissance. Et si cette idée n'était pas plus présente à l'esprit lorsqu'il nous semble que nous ne pensons à rien que lorsque nous pensons à quelque chose en particulier, nous aurions autant de facilité à penser à ce que nous voudrions lorsque nous sommes fortement appliqués à quelque vérité particulière que lorsque nous ne sommes appliqués à rien , ce qui est contre l'expérience. Car, par exemple , lorsque nous sommes fortement appliqués à quelque proposition de géométrie, nous n'avons pas tant de facilité à penser à toutes choses que lorsque nous ne sommes occupés d'aucune pensée particulière. Ainsi , on pense davantage à l'être général et infini quand on pense moins aux êtres particuliers et finis; et l'on pense toujours autant en un temps qu'en un autre.

On ne peut donc augmenter l'étendue et la capacité de l'esprit en l'enflant, pour ainsi dire, et en lui donnant plus de réalité qu'il n'en a naturellement , mais seulement en la ménageant avec adresse ; ce qui se fait parfaitement par l'arithmétique et par l'algèbre. Car ces sciences apprennent le moyen d'abréger de telle sorte les idées et de les considérer dans un tel ordre, qu'encore que l'esprit ait peu d'étendue, il est capable, par le secours de ces sciences, de découvrir des vérités très-composées et qui paraissent d'abord incompréhensibles. Mais il faut prendre les choses dans leur principe pour les expliquer avec plus de solidité et de lumière.

La vérité n'est autre chose qu'un rapport réel, soit d'égalité, soit d'inégalité. La fausseté n'est que la négation de la vérité, ou un rapport faux et imaginaire. La vérité est ce qui est. La fausseté n'est point; ou, si on le veut, elle est ce qui n'est point. On ne se trompe jamais lorsqu'on voit les rapports qui sont, puisqu'on ne se trompe jamais lorsqu'on voit la vérité. On se trompe toujours quand on juge quon voit certains rapports et que ces rapports ne sont point; car alors on voit la fausseté, on voit ce qui n'est point, ou plutôt on ne voit point , puisque le néant n'est pas visible et que le faux est un rapport qui n'est point. Quiconque voit le rapport d'égalité entre deux fois deux et quatre, voit une vérité, parce qu'il voit un rapport d'égalité qui est tel qu'il le voit. De même, quiconque voit un rapport d'inégalité entre deux fois 2 et 5, voit une vérité , parce ()u'il voit un rapport d'inégalité qui est. Mais qui-

conque juge qu'il voit un rapport d'égalité entre deux fois 2 et 5, se trompe, parce qu'il voit, ou plutôt parce qu'il pense voir un rap-, port d'égalité qui n'est point. Les vérités lie sont donc que des rapports, et la connaissance des vérités la connaissance des rapports. Mais les faussetés ne sont point, et la connaissance de la fausseté, ou une connaissance fausse, est la connaissance de ce qui n'est point, si cela se peut dire ; car, comme l'on ne peut connaître ce qui n'est point que par rapport à ce qui est, on ne reconnaît l'erreur que par la vérité.

On peut distinguer autant de genres de faussetés que de vérités. Et comme il y a des rapports de trois sortes, d'une idée à une autre idée, d'une chose à son idée ou d'une idée à sa chose, enfin d'une chose à une autre chose, il y a des vérités et des faussetés de trois sortes. Il y en a entre les idées, entre les choses et leurs idées, et entre les choses seulement. Il est vrai que deux fois 2 sont 4 ; il est faux que deux fois 2 soient 5 : voilà une vérité et une fausseté entre les idées. Il est vrai qu'il y a un soleil; il est faux qu'il y en ait deux : voilà une vérité et une fausseté entre les choses et leurs idées. Il est vrai enfin que la terre est plus grande que la lune , et il est faux que le soleil soit plus petit que la terre : voilà une vérité et une fausseté qui est seulement entre les choses.

De ces trois sortes de vérités, celles qui sont entre les idées sont éternelles et immuables, et, à cause de leur immutabilité, elles sont aussi les règles et les mesures de toutes les autres ; car toute règle ou toute mesure doit être invariable. Et c'est pour cela que Ton ne considère dans l'arithmétique , l'algèbre et la géométrie que ces sortes de vérités, parce que ces sciences générales règlent et renferment toutes les sciences particulières. Tous les rapports ou toutes les vérités qui sont entre les choses créées, ou entre les idées et les choses créées , sont sujettes au changement dont toute créature est capable. Il n'y a que les seules vérités qui sont entre nos idées et l'être souverain qui soient immuables comme celles qui sont entre les seules idées, parce que Dieu n'est point sujet au changement, non plus que les idées qu'il renferme.

Il n'y a aussi que les vérités qui sont entre les idées que l'on tâche de découvrir par le seul exercice de l'esprit; car on se sert presque toujours de ses sens pour découvrir les autres vérités. On se sert de ses yeux et de ses mains pour s'assurer de l'existence des choses, et pour reconnaître les rapports d'égalité ou d'inégalité qui sont entre elles. Il n'y a que les seules idées dont l'esprit puisse connaître infailliblement les rapports par lui-même et sans l'usage îles sens. Mais non-seulemont il y a rapport entre les idée^, mais

ftt.

encore entre les rapports qui sont entre les idées, entre les rapports des rapports des idées , et enfin entre les assemblages de plusieurs rapports et entre les rapports de ces assemblages de rai)ports , et ainsi à l'infini; c'est-à-dire qu'il y a des vérités composées à Tinfini. On appelle, en termes de géométrie, une vérité simple, c'està-dire le rapport d'une idée tout entière à une autre , le rapport de 4 à 2, ou à deux fois 2, une raison géométrique y ou simplement une raison; car l'excès ou le défaut d'une idée sur une autre, ou, pour me servir des termes ordinaires, l'excès bu le défaut d'une grandeur n'est pas proprement une raièon ; ni les excès ou les défauts égaux des grandeurs, des raisons égales. Lorsque les idées ou les grandeurs sont égales, c'est une raison d'égalité; lorsqu'elles sont inégales, la raison est d'inégalité.

Le rapport qui est entre les rapports des grandeurs, c'est-à-dire entre les raisons, s'appelle raison composée, parce que c'est un rapport composé; le rapport qui est le rapport de 6 à 4 et de 3 à 2 est une raison composée. Et lorsque les raisons composantes sont égales, cette raison composée s'appelle proportion ou raison doublée. Le rapport qui est entre le rapport de 8 à 4 et le rapport de 6 à 3 est une proportion , parce que ces deux rapports sont égaux.

Or, il faut remarquer que tous les rapports ou toutes les raisons, tant simples que composées, sont de véritables grandeurs; et que le terme même de grandeur est un terme relatif qui marque nécessairement quelque rapport; car il n'y a rien de grand par soimôme et sans rapport à autre chose, sinon l'infini où Tuiiité. Tous les nombres entiers sont même des rapports aussi véritablement que les nombres rompus, ou que les tiombres comparés à un autre, ou divisés par quelque autre, quoique l'on puisse n'y pas faire de réflexion, à cause que ces nombres entiers peuvent s'exprimer par un seul chiffre, i, par exemple, ou f , est un rapport aussi véritable que j ou |. L'unité à laquelle 4 a rapport n'est pas exprimée, mais elle est sous-entendue; car 4 est un rappoM aussi bien que f ou |, puisque 4 est égal à f ou à -J. Toute grandeur étant donc un rapport, ou tout rapport une grandeur, il est visible qu'on peut exprimer tous les rapports par des chiffres, et les représenter à rimagination par des lignes.

Ainsi, toutes les vérités n'étant que des rapports; pour corinaîlre exactement toutes les vérités, tant simples que composées, il suffit de connaître exactement tous les rapports tant simples que composés. Il y eti a de deux sortes, comme on vient de dire i rapports d'égalité et d'inégalité. II est visible que tous les rapports d'égalilé

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sont semblables , et que , dès qu'bti connaît qu'une chose est égale à une autre connue, l'on en connaît exactement le rapport. Mais il n'en est pas de mêrtie de l'inégalité : on sait qu'une tour est pluâ grande qu'une toise et plus petite que mille toises, et cependant on ne sait point au juste sa grandeur et le rapport qu'elle a avec une toise.

Pour comparer les choses entre elles, ou plutôt t)Our mesurer exactement les rapports d'inégalité, il faut une mesure exacte, il faut une idée simple et parfaitement intelligible , une mesure universelle et qui puisse s'accommoder à toute sorte de sujets. Cette mesure est l'unité ; o'est par elle qu'on mesure exactement toutes choses , et sans elle il est imposable de rien connaître avec quelque exactitude. Mais tous les nombres n'étant composés que de l'unité , il est déjà évident que , sans les idées des nombres , et sans là manière de comparer et de mesurer ces idées, c'est-à-dire sîins l'arithmétique, il est impossible d'avancer dans la connaissance ^es vérités composées.

Les idées ou les rapports entre les idées, en un mot les grandeurs^ pouvant être plus grandes et plus petites que d'autres grandeurs, on ne peiit les rendre égales que par le plus et par le moins, joints avec l'unité répétée autant de fois qu'il est nécessaire. Ainsi , ce n'est que par l'addition et la soustraction de l'unité et des parties de rîinité (lorsqu'on la conçoit divisée) que Ton mesure exacternent toutes les grandeurs et que l'on découvre toutes les vérités. Or, de toutes les sciences , l'arithmétique et l'algèbre principalement sont lès seules qui nous apprennent à faire ces opérations avec adresse, avec lumière, et avec un ménagement admirable de la capacité dé l'esprit. Ces deux sciences sont donc les seules qui donnent à l'esprit toute la perfection et toute l'étendue dont il est capable, puisque c'est par elles seules que l'on découvre toutes les vérités qui se peuvent connaître avec une entière exaôtitude.

Car la géométrie ordinaire ne perfipctionne pas tant l'esprit que l'imagination, et les vérités que l'on découvre par cette science ne sont pas toujours si évidentes que les géomètres s'imaginent. Ils pensent, par exemple, avoir exprimé la valeur de certaines grandeurs lorsqu'ils ont prouvé qu'elles sont égales à certaines lignes , qui sont les sous-tendues d'angles droits dont les côtés sont exacte^ ment connus, ou à d'autres qui sont déterminées par quelqu'une des sections coniques. Mais il est visible qu'ils se trornpent; car ces sous-tendues, par exemple, sont elles-mêmes inconnues. L'on connaît plus exactement ^^"8 ou ^^0 qu'une ligne que Ton s'imagine ou que l'on décrit ^ur le papier, pour sif^rvir de sous-tendue à un angle*

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droit dont les cotés sont 2, ou dont un côté est 2 et lautre i. On sait au moins que TS approche fort de 3 , et que 1^20 est environ i et | ; et l'on peut, par certaines règles, approcher toujours à l'inôni de leur véritable grandeur; et si l'on ne peut y arriver, c'est que Tesprit ne peut comprendre l'infini. Mais on n'a qu'une idée fort confuse de la grandeur des soutendues. et on est même obligé de recourir à VS ou V20 pour les exprimer. Ainsi, les constructions géométriques, dont on se sert pour exprimer les valeurs des quantités inconnues, ne sont pas si utiles à régler l'esprit et à découvrir les rapports ou les vérités que l'on cherche qu'à régler l'imagination. Mais comme l'on se plaît beaucoup plus à faire usage de son imagination que de son esprit, les mathématiciens ont d'ordinaire plus d'estime pour la géométrie que pour l'arithmétique et pour l'algèbre.

Pour faire parfaitement comprendre que l'arithmétique et l'algèbre sont ensemble la véritable logique qui sert à découvrir la vérité , et à donner à l'esprit toute l'étendue dont il est capable , il suffit de faire quelques réflexions sur les règles de ces sciences.

On vient de dire que toutes les vérités ne sont que des rapports; que le plus simple et le mieux connu de tous les rapports est celui d'égalité; qu'il est le commencement d'où il faut mesurer les autres pour avoir une idée de l'inégalité; que la mesure dont on est obligé de se servir est l'unité; et qu'il faut l'ajouter ou l'ôter autant de fois qu'il est nécessaire pour mesurer l'excès ou le défaut de l'inégalité de ces grandeurs.

De là il est clair que toutes les opérations qui peuvent servir à découvrir les rapports d'égalité ne sont que des additions et des soustractions : additions de grandeurs pour égaler des grandeurs, additions de rapports pour égaler des rapports, ou pour mettre les grandeurs en proportion ; enfin addition de rapports de rapports pour égaler des rapports de rapports , ou pour mettre les grandeurs en proportion composée.

Pour égaler 4 avec 2 , il n'y a qu'à ajouter 2 avec 2 , ou retrancher 2 de 4, ou enfin ajouter l'unité à 2 et la retrancher de 4. Cela est clair.

Pour égaler le rapport ou la raison de 8 à 2 au rapport de 6 a 3 , il ne faut pas ajouter 3 à 2 ou retrancher 3 de 8 , en sorte que l'excès d'un nombre à l'autre soit égal à 3 , qui est l'excès de 6 sur 3 : ce ne serait qu'ajouter et qu'égaler des grandeurs simples, l'excès de 8 sur 5 à celui de 6 sur 3. Il faut chercher d'abord la grandeur du rapport de 8 à 2 , ou ce que vaut |; et l'on trouve en divisant s par 2 que Vfi.rpofiant (]e ce rapport est i. on (jue'v est é^al à i.

Il faut de môme voir quelle est la grandeur du rapport de 6 a 3, et FoQ trouve qu'elle est égale à 2. Ainsi Ton reconnaît que ces deux rapports | égal à 4 , et • égal à 2 , ne sont différents que de 2. De sorte que pour les égaler on peut , ou bien ajouter à f encore I égal à 2, car l'on aura ^, qui sera un rappport égal à|, ou bien retrancher | égal à 2, de |, car l'on aura ^ qui sera un rapport égal à |; ou enfin ajouter l'unité à | et la retrancher de J , C3r l'on aura f et |, qui sont des rapports égaux , car 9 est à 3 comme 6 à 2.

Enfin, pour trouver la grandeur de l'inégalité entre les rapports qui résultent , l'un de la raison composée ou du rapport de rapport dé i2 à 3 et de 3 à 4 , et l'autre de la raison composée ou du rapport de rapport de 8 à 2 et de 2 à |, il faut suivre la même voie. Premièrement, la grandeur de la raison de 42 à 3 se marque par 4, où 4 est l'exposant de la raison de 42 à 3, et 3 est Texposant de 3 à 4 , et l'exposant de la raison des exposants I et 3 est |. Secondement, l'exposant de 8 à 2 est 4 , et de 2 à 4 est 2, et Texposant des exposants 4 et 2 est 2 ; enfin l'inégalité entre les rapports qui résultent des rapports de rapports est la différence entre j et 2, c'est-à-dire f . Donc \ ajouté au rapport des raisons 42 et 3 et 3 à 4 , ou retranchés du rapport des autres raisons 8 à 2 et 2 à 4 , met en égalité ces rapports de rapports , et produit une proportion composée. Ainsi l'on peut se servir d'additions et de soustractions pour égaler les grandeurs et leurs rapports, taut simples que composés, et pour avoir une idée exacte de la grandeur de leur inégalité.

Il est vrai que l'on se sert de multiplications et de divisions tant simples que composées, mais ce ne sont que des additions et des soustractions composées. Multiplier 4 par 3 , c'est faire autant d'additions de 4 que 3 contient d'additions de l'unité, ou trouver un nombre qui ait même rapport à 4 qu'a 3 avec l'unité ; et diviser 42 par 4, c'est soustraire 4 de 42 autant de fois qu'il se peut , c'est-à-dire trouver un rapport à l'unité égal à celui de 42 à 4; c^r 3, qui en sera l'exposant, a même rapport à l'unité que 42 à 4. Les extractions des racines carrées, cubiques, etc., ne sont que des divisions par lesquelles on cherche une, deux ou trois moyenne» proportionnelles,

' Il est évident que l'esprit de Thomme est si petit, sa mémoire si peu fidèle , son imagination si peu étendue que , sans l'usage des chiffres et de l'écriture, et sans l'adresse dont on se sert dans l'arithmétique, il serait impossible de faire les opérations nécessaires pour connaître l'inégalité des grandeurs et de leurs rapports.

Lorsqu'il y aurait plusieurs nombres à ajouter ou à soustraire, ou, ce (fui est la même chose , lorsque ces nombres sont grands , et qu'on ne les peut ajouter que par parties , on en oublierait toujours quelqu'une. Il n'y a point d'imagination assez étendue pour ajouter ensemble les fractions un peu grandes, comme |5||, — 4Hfî » ^u pour soustraire Tune de l'autre

Les multiplications , les divisions et les extractions de racines des nombres entiers sont infiniment plus embarrassantes que les simples additions ou soustractions; l'esprit seul, sans le secours de l'arithmétique, est trop petit et trop faible pour les faire, et il est inutile que je m'arrête ici à le faire voit*.

Cependant l'analyse ou l'algèbre est encore tout autre chose que l'arithmétique ; elle partage beaucoup moins la capacité de l'esprit, elle abrège les idées de la manière la plus simple et la plus facile qui se puisse concevoir. Ce qui se fait en beaucoup de temps par l'arithmétique se fait en un moment par l'algèbre, sans que l'esprit se brouille par le changement de chiffres et par la longueur des opérations. Une opération particulière d'arithmétique ne découvre qu'une vérité; une semlDlable opération d'algèbre en découvre une infinité. Enfin il y avait des choses qui se pouvaient savoir, et qu'il était nécessaire de savoir, dont on ne pouvait avoir la connaissance par l'usage de rarithmétiquè seule; mais je ne crois pas qu'il y ait rien qui soit utile, et que les hoinmes puissent savoir avec exactitude, dont ils ne puissent avoir la connaissance par l'arithmétique et par l'algèbre. De sorte que ces deux sciences sont le fondement de toutes les autres, et -donnent les vrais moyens d'acquérir toutes les sciences exactes, parce qu'on ne peut ménager davantage la capacité de l'esprit qtie l'on le fait par l'arithmétique, et principalement par l'algèbre.

DE LA MÉTHODE. — II* J?ÂRtlE. «Q^