BG

D'après l'équation de la courbe que décrit le point M dans ce système, on reconnaît aisément que la partie qui correspond à la rotation de la ligne BG^ d'un quart de tour en haut et en bas de sa position primitive est presque rectiligne. Après avoir parcouru cette partie de sa trajectoire, le point M se lève et fait sa marche de retour, en montant peu à peu jusqu'au milieu de sa course et en s'abaissant suivant la même loi, après avoir dépassé ce

milieu. Un tel mouvement du point M, dans lequel se transforme directement le mouvement rotatoire de la ligne BG^, dans notre système, peut avoir des applications utiles. Si l'on applique de tels systèmes à deux manivelles coudées à un axe sous l'angle 180°, on obtient un mécanisme où la rotation d'un axe se transforme en mouvement de deux points qui, tour à tour, parcourent la même ligne presque droite, et dont chacun se lève au-dessus de cette ligne après l'avoir parcouru quand l'autre s'abaisse sur elle pour la parcourir à son tour. En ne considérant que l'espace oiï se trouve la partie presque rectiligne de la trajectoire de ces points, on reconnaît aisément qu'ils produisent approximativement le même effet que les points équidistants de la circonférence d'une roue tournante quand son rayon est infiniment grand. Donc, sous ce rapport, le système dont nous venons de parler peut bien jouer le rôle d'une roue infiniment grande.

Sur les sommes composées des eoeffleients des séries à termes positifs.

Lettre adresse'e à M-me Sophie Kowalevski. (Acta mathematica. Journal rédigé par G. Mittag-Leffler, t. 9, 1887, p. 182—184).

Je ne peux trop me féliciter de l'honneur que vous m'avez fait, eu ayant bien voulu traduire ma Note sur les valeurs limites des intégrales. L'intérêt que vous avez porté à mes recherches sur ce sujet m'engage de vous présenter un résultat que je viens d'en tirer par rapport à la détermination des limites entre lesquelles reste comprise la somme d'un nombre quelconque de premiers coefficients de la série

Aq -i~ A^x -*- A^x^ -+- A^x^ -^ . , . . , ou

dans le cas, où tous les termes sont positifs. Pour la détermination de ces limites d'après les valeurs réelles des séries infinies

Aq-^- A^x -^ Aç^x^ -^ A^x^ -i- . . , . ,

^i Bi B^

■^x ' 2>^ ' gX ' • . • • 5

j'ai cherché les valeurs limites de l'intégrale

en supposant que F{z) est une fonction qui ne devient pas négative pour ^ > 0 et que l'on connaît la valeur de l'intégrale

fe-'' F(z) dz

pour t réel et positif.

Parmi les différentes valeurs limites de l'intégrale

que j'ai obtenues, les plus remarquables par leur simplicité peuvent être présentées par les formules suivantes:

où p, 0- sont des quantités positives quelconques, et ^{t) est une fonction déterminée, pour t > 0, par l'équation

et qui se réduit à oo pour t =: 0.

D'après ces formules on trouve aisément les valeurs limites de l'intégrale

J F{z) dz

pour u quelconque, en donnant à p et a des valeurs qui remplissent ces conditions:

Pour appliquer ces formules à la détermination des limites, entre lesquelles reste comprise la somme de n premiers coefficients de la série

on prendra

u = n — 1. En prenant

u = log n,

on trouvera les limites de la somme de n premiers coefficients de la série

Ainsi, par exemple, en prenant pour 0{t) une série infinie

liH-f ~*~ 21-+-' "*" 3i-»-< "*" 51-*-' ~*~ 71-»-* "•"••••>

composée seulement des nombres premiers, on obtiendra des formules pour évaluer les limites de la somme finie

^H- — -+--^-1- — H- — -Hr-7-4-. . . .H

d'après les séries infinies de la forme

Iog2

Iog2 2 Iog2 3 log^S log»7 2i-»-f 31-*-' ô^"*-' 71-*-' ~

logS 3i-*-<

log5 51-^'

log7 71-Hf

St.-Pétersbourg.

20 sept. (2 oct.) 188

Règle de Tehebyehef pour l'évaluation approximative des distances sur la surface de la Terre.

(Micflu.ecjioBt Ha 1869 roAt, cip. 128. Hs^aHie HiinErAxorcKou AKa^CMin HayKt).

1) Exprimez eu minutes les différences des longitudes et des latitudes des deux lieux;

2) doublez la différence des latitudes;

3) des deux nombres, à savoir, la différence des longitudes et la double différence des latitudes, multipliez le plus petit par 3, le plus grand par 7, et additionnez les résultats;

4) la somme divisée par 8 donnera la distance cherchée en verstes.