GD = AD

l'expression précédente donnera:

GlP = (AD' — ^Bf -H ^B'\ En apercevant que du triangle rectangle AGB' on a: GB'^ = AB'' — AG\ on conçoit de cette équation que

AB'^ — AG' = {AB' — §Bf -+- pZ)'% d'où, en ouvrant les parenthèses et en réduisant, on aura — AC^= — 2AB' • p7) -H pZ)2 -♦- ^B'\

Dans cette équation AB' est une quantité finie, mais les quantités AG, PD, (3D' sont infiniment petites et l'ordre d'infiniment petit (31)' est plus haut que celui d'infiniment petit ^D, parce que la droite GB est tangente à l'arc BB'; donc l'équation précédente suppose que pD est infiniment petit du second ordre par rapport à AG. Mais, par hypothèse, (3D' est infiniment petit de l'ordre X par rapport à ^B, parce que l'arc BB', décrit par le point B, représente la droite GB avec la précision qui va jusqu'au degré X. Par conséquent, le segment ^7)' par rapport au segment J(7 sera infiniment petit de l'ordre 2X, donc de l'équation trouvée

on conclut que Aol, déviation du point A de la droite LG, sera par rapport à ^(/infiniment petit de l'ordre 2X-i-l.

§ 6. En se basant sur ce qu'on vient de démontrer, on peut très facilement augmenter la précision des parallélogrammes en y ajoutant le système des deux droites dont on a parlé auparavant. Ainsi, du parallélogramme réduit de Watt qui produit le mouvement rectiligne exact jusqu'au 5-e degré on passe à celui qui est représenté sur la fig. 4; ce dernier, si les conditions posées en § 5 sont remplies, fournira le mouvement rectiligne avec la précision qui va jusqu'au 11-e degré. Ce parallélogramme consiste en trois droites BG, B'G', B"G" qui pivotent sur les points fixes (7, C, C", et en deux droites articulées avec celles-ci à l'aide des trois joints J5, B', B"; le bout A de la droite AB exécute le mouvement voulu. Exactement de la même manière on passe du mécanisme d'Evans, produisant le mouvement rectiligne exact

jusqu'au 5-e degré, au parallélogramme qui est représenté sur la fig. 5 et qui peut fournir le mouvement rectiligne exact aussi jusqu'au 11-e degré. Ce parallélogramme présente les mêmes organes que le précédent; la différence ne se manifeste que dans la position des points fixes 0', G'\ sur lesquels pivotent les droites B'G\ B"G" et dans la position du joint I) unis- (jn SJ\ gj^Qt igg droites AD et B'B". On a vu au § 3

qu'avec les mêmes pièces que ceux du parallélogramme réduit de Watt et du mécanisme d'Evans on peut composer le parallélogramme dont la précision ira jusqu'au 6-e degré. Si l'on ajoute à ce parallélogramme les deux droites satisfaisant aux conditions qu'on a exposées dans le paragraphe précédent, on aura le parallélogramme qui fournira le mouvement rectiligne exact jusqu'au 13-e degré. Le parallélogramme ainsi construit est représenté sur la fig. G. Il consiste aussi en cinq droites dont les trois BC\ B'O', B"G" pivotent sur les points fixes C, C', G'\ et les "deux autres B'B'\ AD sont liées avec les premières à l'aide des trois charnières B, B\ B". Le mouvement en question est fourni par le bout libre de la droite AD. Ce parallélogramme ne diffère du premier de ceux qu'on a décrits que par la position des points fixes C', G'\ sur lesquels pivotent les droites B'G\ B"G\ Le parallélogramme mentionné produit le mouvement rectiligne avec la précision qui va jusqu'au 13-e degré; donc d'après § 5, si l'on le combine avec deux autres droites, on peut construire un parallélogramme fonctionnant avec la précision qui ira jusqu'au 27-e degré; en y ajoutant encore deux droites on augmente le degré de la précision jusqu'à 55 etc. Mais, comme nous regardons la précision qui va jusqu'au 13-e degré comme tout à fait suffisante pour la pratique, nous nous arrêterons au dernier des parallélogrammes mentionnés et nous n'examinerons pas les parallélogrammes plus compliqués.

§ 7. Comme le degré de précision, avec laquelle ce parallélogramme fournit le mouvement rectiligne est poussé si loin, le segment de la droite produit par le mécanisme considéré, avec la précision suffisante pour la pratique, peut avoir la longueur assez considérable relativement aux dimensions

des organes du parallélogramme. Si l'on garde la longueur des droites ÂBt BG, mais si l'on augmente la longueur de la trajectoire du point A en haut et en bas du point G (fig. 7), on parviendra à ce que la droite BG exécute un demi-tour au côte droit de la droite LM qui passe par le point G et qui est perpendiculaire à la droite G'G". Si, d'ailleurs, on modifie les positions des points G', G" en les disposant symétriquement des deux côtés de la droite LM (fig. 8), toutes les positions du parallélogramme seront symétriques par rapport à la même droite LM. Donc à une oscillation du point A

entre les limites extrêmes dont ou a parlé tout à l'heure correspondront également et le demi-tour du segment BG au côté droit de la ligne LM, et le demi-tour du segment BG au côté gauche de LM. Par conséquent, les points G\ G", pivots des droites B'G\ B"G'\ étant ainsi disposés, à la révolution complète de la droite BG autour du point G correspondra l'oscillation du point A d'une limite extrême à l'autre et le retour de ce point à sa première position. Le degré de précision que possèdent les parallélogrammes de l'espèce considérée est poussé si loin qu'il devient possible de faire suffisamment approchée de la ligne droite toute la trajectoire décrite par

le point A pendant la révolution complète du segment ^(7 autour du point G. On atteint ce but, comme le montrent les calculs, si l'on donne aux organes du parallélogramme les dimensions évaluées comme il suit:

«On prend pour unité des longueurs celle des droites B'G\ B"G" qui pivotent sur les points G', G"; alors la longueur a de la droite B'B" liée avec celles-ci et la distance b entre les points G\ G" s'exprimeront ainsi:

où a est le sinus-versus de l'angle de rinclinaisou de la droite B'B" sur la droite G'C" dans la position extrême du parallélogramme; les segments CJ5, AB^ BD et AB sont définis par l'équation:

(5) BC=AB = BD = ^ = \ l,

où / est égal à la longueur du pas du point A, qu'on peut trouver à l'aide de la formule

Le point B, où la droite B'B" est articulée avec la droite AB, doit être pris au milieu du segment B'B"; il faut choisir la position du point C, sur lequel pivote la droite BG de manière, que dans la position moyenne du parallélogramme, quand les droites B'B" et C'C" deviennent parallèles, le point B coïncide avec le point C».

§ 8. Il n'est pas difficile de montrer que pour le parallélogramme ainsi construit les déviations du point A de la droite LM pendant la révolution complète du segment BC autour du point C ne surpasseront pas la limite suivante :

où M est la valeur maximum qu'atteignent les fractions

2n — 2Xo -♦- — — 2Xs — «2

(X -^ 1 s)Mk -*- s)2 ^^A:^ s^ (2 s)'

2tJL — 2Xo -+- ~ — 2ls — «2 2XK(fx-i-s)((^^-s)'(2-5)

entre s = 0 et s = ff.

Nous commencerons la démonstration par la recherche des formules

qui définissent la position du point B (fig. 9) pour les inclinaisons diverses de la droite B'B' sur la droite G'G" . Ou prend la droite G'G" pour l'axe des abscisses, la droite LM pour celui des ordonnées et le point 0, intersection de ces droites, pour l'origine des coordonnées; alors, comme, d'après ce qu'on a dit, les points G\ G" sont disposés symétriquement par rapport à la droite LM^ on aura:

G'O = G"0 et par conséquent G'0=G"0 = ^ G'G"=^ h.

En prolongeant la droite B'B' jusqu'à son intersection avec l'axe des abscisses au point V, ou aperçoit que les coordonnées du point B à l'aide des longueurs des segments BV, OV et de l'angle B'VG"=aL s'expriment ainsi :

x=^OV—BV cosa,

y = BV sin a.

De l'autre côté on voit que

B'V=BV-i-BB'; B"V=BV—BB";