CD
§ 10. La déviation Âoc du point A de la droite LM étant égale au produit
où
et
s^ — as^-t-^0^8
l/(A^lI' , [^(X H- 1 - s) ViJ^TS -- Vi^ ((X -H 1)2 - 2Xs)]
AG
l/(a — s) (2fJi — 2Xa -♦- ^ - 2Xs — sA
Vs ([i. -H s) (2 - «)
On voit que Â<x sera plus petit que le produit de ces deux expressions; mais ce produit peut être décomposé en deux facteurs suivants:
02iys(0-S)
s)Vll-^8-i-
- 2Xs)
1 2!X— 2Xa
En s'arrêtant au premier de ces facteurs, on aperçoit que l'expression
après être élevée au carré, donne
[se 3,.'-H^ ,.,.^ ,3,.^105 ^.^,^9 ,,^-j^
où le polynôme en parenthèses est égal au carré du polynôme
moins
donc cette expression peut être représentée comme il suit:
D'où l'on conclut que les valeurs numériques de cette expression ne surpassent pas la limite
D'ailleurs on aperçoit que le dénominateur du facteur considéré
(X -f- 1 — s) Vil. H- s -+- Vil ((X -»- 1)2 — 2Xs) est plus grand que la double valeur du plus petit des deux termes
(X-i-1— s) ~V^-\-s, yp.((X-f-l)2— 2Xs),
par conséquent, ce dénominateur sera plus grand que la plus petite des deux quantités:
Mais on a déjà remarqué que le numérateur du facteur considéré ne surpasse pas la limite
donc ce facteur sera plus petit que la plus grande des fractions suivantes:
2(k-hl — s)Vii-i-s
-s)Vy.-t-s'
2 yjx((XH-l)2— 2Xs) 64 y,jL ({X -t- 1)» - 2Xs) '
par conséquent, son produit par le second facteur
/2fA-2X0 -4- -V — 2Xs — s2 1 ^!
sera plus petit que le plus grand des produits:
■ 2{JL-2X<î-t--^-2Xs-52
64l/^((X-t-l)2-2Xs) 2 y ^(A|l^',j(^^s)(2-s)
qu'on peut réduire comme il suit:
^2 2{A— 2X(7 H ;^ — 2Xs — «2
2|x— 2Xo-*- -^ — 2Xs — 6- 2Xfx(^-^-^s)V + s)(2-s)
Mais, comme s uc peut avoir que les valeurs entre s = 0 et s = a, la plus grande de ces deux quantités ne surpassera pas la limite
OÙ l'on a désigné par M la valeur maximale qu'atteignent les expressions
2(j.— 2Xa -f- — ^ — 2ÀS — s2
2|A— 2Xo -H -^ — 2Xs — s2
pour les valeurs de s entre s = 0 et s = a; par conséquent, la quantité trouvée sera la limite pour les valeurs de Aol, déviation du point A de la droite LM, ce qu'il fallait démontrer.
§ 11. Pour donner un exemple de l'application des formules que nous avons déduites et pour montrer en même temps le grand degré de précision, avec laquelle le parallélogramme considéré fournit le mouvement rectiligne, posons
En faisant dans les formules (3) et (4) qui définissent a et &
on trouve
En mettant ces valeurs par a et h dans les expressions (7) qui déterminent les valeurs des quantités auxiliaires X et [i, on trouve
4 -(0,30992-4-0,76831)^ . ^r.oQA ^ — ^ n.snfl99 0 7fift3i — »5-^^»^4-
Pour ces valeurs de X, pi, a et pour ct — 1 la formule (6) qui définit la longueur du pas l donne
l = 0,30992 l/'-g^rriJ î/-^ = 0,68099.
Pour cette valeur de / les équations (5) nous donnent
JB=?£55?9 = 0,17025, BD = ^ = 0,17025,
JZ) = ^»?? = 0,34049.
Telles doivent être les dimensions des diverses pièces du parallélogramme que nous avons décrit, si l'on donne à la quantité a la valeur 1 .
La déviation du mouvement rectiligne dans ce parallélogramme d'après le § 8 sera plus petite que
OÙ M est la valeur maximale que peuvent atteindre les fractions
2|X — 2À(J -4- -^ — 2Xs — S2
(X-^l s)2(f.^s)2(^A±ii'-sj (2-s)'
2u, — 2Xo -t- -V — 2Xs — «2
2lix{i,-^ s) {^^^^ - sj (2- s)
pour s variant entre 0 et a = 1 .
En mettant dans les expressions de ces fractions les valeurs de a, a, X, IX, l et en s'arrêtant aux deux décimales, on trouve que les fractions considérées sont égales à
Ces fractions comme il n'est pas difficile d'apercevoir vont en croissant de s = 0 jusqu'à s = 1; donc entre ces limites leurs valeurs maximales correspondent à s = 1 . En faisant
on trouve que la première fraction s'approche de 0,0136 et la seconde fraction—de 0,0137. La dernière quantité, comme la plus grande, sera donc la valeur maximale que peuvent atteindre les fractions dans l'intervalle entre s = 0 et s = 1 ; par conséquent, d'après nos désignations
ilf= 0,0137.
Eu mettant cette valeur de M avec les valeurs de a, a dans la formule
on trouve que les déviations du mouvement parfaitement rectiligne dans le cas que nous avons examiné seront plus petites que
ce qui ne fait pas même 0,00042 de la longueur du pas 1 = 068099, tandis que dans le parallélogramme de Watt qui fut l'objet des recherches de Prony (Annales des mines T. XII) les déviations surpassent 0,00060 de la longueur du pas '•'•).
D'où l'on conçoit qu'un pareil parallélogramme comme effectuant immédiatement la transformation du mouvement rectiligne alternatif en mouvement circulaire continu peut suppléer dans les machines à vapeur aux parallélogrammes employés aujourd'hui ainsi qu'à la bielle avec la manivelle. Remarquons pour conclure que dans ce cas le rapport des vitesses se montre égal à celui que peut fournir seulement la manivelle de la longueur infiniment grande.
*) La limite de ces déviations diminue rapidement avec la diminuatiou de o. Ainsi pour 0= y, quand a = 0,29533, & = 0,7G415, î = 0,5967G, cette limite est plus petite que
0,00014; pour o = y, quand a = 0,28648, 6 = 0,76175, l = 0,53716 cette limite est plus petite que 0,00007.
(TRADUIT PAK G. G. SOUSLODP.)
& t(;Cunipo6n>c^HOM^ pezi^AJimoprô .
OiqeTi. II p'tiH, npoH3HeceHHHfl b-b TopacecTsemioMt coôpaain HMnepaTopcKaro MocKOBCKaro TexHHiecKaro y^HJinma 8-ro ceHTaôpa 1871 ro^a.
Du régulateur centrifuge.
§ 1. On connaît aujourd'hui plusieurs régulateurs centrifuges, dont la vitesse de rotation reste la même quelle que soit la position de la douille ou du manchon mobile. Mais cette propriété, si importante dans la pratique, n'est atteinte qu'en ajoutant de nouveaux organes au régulateur centrifuge de Watt au détriment de la simplicité de sa forme primitive. Certainement, l'un des moyens les plus simples de rendre isochrone un régulateur consiste à le munir d'un ressort, comme l'a fait Foucault pour son appareil; mais pour que l'isochronisme fût parfait dans ce cas, il faudrait que l'action du ressort suivît, invariablement et avec une rigueur absolue, une loi déterminée, condition qu'on ne saurait réaliser dans la pratique. Quant aux mécanismes qu'on a cherché de rendre isochrones sans l'aide d'un ressort, leur complication les exclut de tout emploi utile. Mais s'il est impossible de rendre le régulateur de Watt rigoureusement isochrone, en lui conservant sa forme primitive, il est, d'ailleurs, facile de remarquer que le degré de ses écarts de l'action des régulateurs parfaits dépend de la dimension et de la disposition de ses organes. Donc, avant de le compliquer dans le but de le rendre plus isochrone (l'isochronisme absolu n'étant pas réalisable en pratique) il est nécessaire de déterminer le plus grand degré d'approximation à l'isochronisme parfait que peut atteindre le régulateur centrifuge sous sa forme la plus simple. Les recherches du genre de celle que nous venons d'indiquer se réduisent à une question d'analyse semblable à celle qui se présente dans le problème de déterminer !a forme la plus avantageuse du parallélogramme de Watt, et elles établissent, comme on va le voir, qu'en donnant des dimensions et des dispositions convenables aux différents organes du régulateur de Watt on s'approche de l'isochronisme parfait en tel
Flg. 1.
— nodegré, qu'il est superflu de compliquer encore le mécanisme pour atteindre ce but définitivement. Eu efl"et, le degré d'approximation à Fisochronisme absolu pour le régulateur de Watt peut être poussé si loin qu'il est douteux qu'on puisse obtenir des résultats plus satisfaisants en construisant réellement même des appareils parfaitement isochrones.
§ 2. En considérant le régulateur centrifuge de Watt (fig. 1), nous supposerons que les tiges portant des sphères oscillantes sont prolongées au delà de leur point d'attache à l'axe vertical du régulateur, et qu'elles sont articulées par leurs bouts sur les bras qui soutiennent le manchon mobile, comme cela se fait souvent dans la pratique. Pour plus de généralité nous ne nous bornerons pas au cas oii les tiges sont droites, mais nous les supposerons brisées et formant un certain angle ^. Nous désignerons pour plus de brièveté par l'expression: première partie de la tige, sa partie supérieure et nous prendrons sa longueur pour unité. La partie inférieure de la tige depuis le point d'attache à l'axe du régulateur jusqu'au centre de la sphère oscillante sera désignée par l'expression: seconde partie de la tige, et sa longueur sera r. Nous noterons o la vitesse angulaire de rotation, en général, et sa valeur normale dite de régime par Oq. L'angle d'inclinaison de la première partie de la tige sur l'axe vertical du régulateur pour sa vitesse de rotation normale Oq sera désigné par cp, et sa valeur pour toute autre vitesse o sera 9 -+- a, de façon que a sera la mesure de la variation de cet angle pour tout écart de la vitesse « de sa valeur de régime Oq.
Si l'on forme d'après le principe des vitesses virtuelles l'équation d'équilibre entre la force de gravité, agissant constamment sur le manchon mobile et sur les sphères oscillantes, et la force centrifuge développée par leur rotation avec la vitesse o, on obtient l'équation que voici:
^ [^ *7rai=b)] ^"' (î *«)= 2'- [>-7'-<=«^ (+-'-«)] ^'"('i'-^-»''
où l'on a pris pour unité de poids celui d'une des sphères oscillantes et où P est le poids du manchon, m étant la longueur des bras.
En tirant de cette équation la valeur de o^, on trouve :
[, cos (cp -t- a) n . ^~^V 2 ■ •>/ T sm(9-i-a)P-2r3in(^-cp- ___ rm^ — sm^(y-t-a) J
2 — sin (4^ — 9 — a) cos (<|^ — 9 — a)
En divisant par (si^^ on aura
r, cos (9 -*- a) 1 . , 2r 1 -•- , siQ (cp -f- Qc) — sin («L — m — a)
-^8in2(4>-?-a)
OU bien
1, cos (9 -I- a) I . ,
«f L vm^ — siii'^ (9 -+- g) J
«0* ~ S sin 2 (-J^ — 9 — a) '
en posant
Or, comme par hypothèse
il est clair que la fonction
[, cos (9 H- a) ~] . , . j . ,,
^ "*" ,/ 9 ■ ,/ =^ ^^"^ (9 H- a) - ^ sm (4^ — 9 - a y m2 — 8m2 (9 -+- a) J
'^ ^ JS sin 2 («^ - 9 — a)
deviendra 1 pour a = 0.
Mais l'isochronisme parfait du régulateur n'est atteint, comme on a vu, qu'à la condition que la vitesse angulaire o conserve toujours sa valeur «0 quelle que soit la position du manclion mobile et, par conséquent, quelle que soit la valeur de l'angle a qui détermine cette position; la fonction (2) devient alors nécessairement égale à l'unité. Or, quoique cette fonction ne satisfasse rigoureusement à cette condition pour aucune valeur des constantes
qui entrent dans son expression, néanmoins, par un choix convenable de ces valeurs ses écarts de l'unité peuvent être rendus très petits pour toutes les valeurs de a usitées en pratique. Par conséquent, le régulateur centrifuge, dont les paramètres A, B, m, ^ et a^ auront ces valeurs, différera très peu d'un régulateur rigoureusement isochrone.
§ 3. Quand on détermine les paramètres d'une fonction donnée de façon à rendre minima ses écarts d'une valeur constante quelconque pour toutes les valeurs possibles que puisse prendre, entre certaines limites, la variable indépendante, il faut distinguer deux cas: P quand ces limites sont infiniment rapprochées entre elles; 2" quand leur différence est une quantité finie, plus ou moins considérable. Les valeurs des paramètres, obtenues dans la première hypothèse, comme nous l'avons fait voir dans notre mémoire intitulé: Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes *) offrent une première approximation et permettent d'obtenir facilement leurs valeurs plus exactes, dans la seconde hypothèse, par une méthode exposée dans ce mémoire.
En nous arrêtant au premier cas, où les limites de a sont infiniment rapprochées et, par conséquent, diffèrent peu de zéro, nous remarquerons que le degré d'approximation de l'expression
[, cos (<p -H a) ~1 • , , A ' n ^
1 -I ^r^==^===: 8in ((a -\-a.) — A sm (J> — œ — a) /ot2 — siD2(y-f-a)J
i^ sia 2 (4* — cp — a)
à l'unité est déterminé par la plus petite puissance de a dans le développement de la différence:
r, cos (p H- a) n .
