sin

| y «(2 — siu2 (9 -i- a) J

-H a) — J. sin (4< — 9 — a)

JS sin 2 (4» — cp — a)

suivant les puissances ascendantes de a.

En développant cette différence en série suivant les puissances de a et en égalant à zéro les coefficients de

on obtient cinq équations qui devront être satisfaites pour que la plus petite puissance de a dans ce développement soit 5, ce qui est l'approximation maximum de la fonction (2) de l'unité, car ces cinq équations nous donneront les valeurs de tous les cinq paramètres qui entrent dans l'expression de cette fonction.

La solution des équations ainsi obtenues nous a fourni les valeurs suivantes pour A^ B, m, ^, cp, à savoir:

*)T. I, pag. 111-

w=l, 31271, tl^ = 119°10', (p= 58°46'.

En mettant ces valeurs dans la formule (2), nous obtenons une expression qui ne différera de l'unité que par des termes contenant a à la cinquième puissance et à des puissances supérieures à 5; donc cette fonction pour les valeurs de a peu sensibles (comme c'est toujours le cas en pratique) restera toujours peu différente de l'unité. En effet, si l'on calcule la valeur de la dite expression pour différents a, on trouve que la différence entre la fonction (2) et l'unité n'atteint la valeur de 0,001 que pour a=14°40' et ne s'abaisse jusqu'à — 0,001 que pour a = — 13°50', tandis qu'à mesure que la valeur numérique de a devient plus petite, cette différence diminue très rapidement, c'est-à-dire à peu près comme la cinquième puissance de a.

D'autre part, en calculant *) l'élévation du manchon pour

on trouve qu'il s'élève de 0,62 de la longueur de la première partie du bras, que nous avons prise pour unité, pendant que a varie de 14°40'jusqu'à — 13°50'. Mais au fur et à mesure que ces valeurs limites de a se rapprochent, la hauteur de l'élévation du manchon diminuera presque proportionnellement à la première puissance de a, comme on peut le montrer par des calculs. Il en résulte que si l'on donne aux différentes parties du régulateur de Watt les dimensions et les dispositions pour lesquelles le rapport ^, devient égal à l'expression trouvée, on rendra ce mécanisme très peu différent d'un régulateur parfaitement isochrone, car dans ce cas,* comme on vient de le voir, le rapport ^ restera toujours entre l-*-0,001 et 1—0,001 pour toutes les positions du manchon sur la longueur de 0,62, et par suite la différence o) — w^ sera comprise entre —^ et — — ^ . Mais si l'on diminue la portée des déplacements du manchon de 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 de sa valeur première, les limites de la différence o — «o diminueront proportionnellement à

donc elles seront réduites aux valeurs:

dt0,00029oo; ±0,00016oo; ±0,00008oo; =»= 0,00004oo.

§ 4. Quoique les limites trouvées pour les écarts de la vitesse angulaire G) de sa valeur de régime % soient assez rapprochées, néanmoins on

*) Par l'expression cos (cp -♦- a) -h Vm- — sin^ (9 -t- a).

peut encore les restreindre et même considérablement. Ces limites, comme on vient de voir, correspondent au cas, où l'on détermine les paramètres qui entrent dans l'expression (2), en supposant que la variable a est infiniment petite. Quand on passe du cas, où a reste infiniment petit, à celui, où a diffère de zéro par une quantité finie, mais peu sensible, on est en état, à l'aide des méthodes exposées par nous dans le mémoire mentionné, de rendre ces limites 2"^ =: 1 6 fois plus petites. Mais comme les valeurs trouvées pour les quantités A, B, m, ^, cp fournissent l'approximation tout-àfait suffisante pour la pratique, nous ne nous arrêterons pas à l'évaluation des paramètres qui donnent l'approximation encore plus grande. Remarquons seulement, que pour les valeurs de

A, B, m, ^, 9, ainsi trouvées, la différence

[cos (ç -♦- a) I . , V i • / 1 \ 1 -f- ^ sm (cp -+- a) — ^ sin (<]> — 9 — a) Vm^ — 3in2 (g) -+- g) J ^

«o^ "~ -^ ~" 1? sin 2 (<j> - 9 - a)

s"annule pour cinq valeurs différentes de a; par conséquent, cinq positions différentes du manchon mobile correspondront à une même vitesse angulaire «o- Quant aux valeurs des paramètres

A, B, m, cp, tj>,

pour lesquelles à chaque vitesse angulaire ne correspond qu'une seule position du manchon, on peut les trouver par la méthode exposée par nous dans le mémoire mentionné, seulement on doit ici au polynôme qui diffère de zéro le moins possible sans restrictions suppléer le polynôme qui diffère de zéro le moins possible en croissant continuellement, ou en décroissant. Si l'on détermine les différents polynômes qui satisfont à cette condition, on trouve que celui qui est nécessaire pour le cas présent peut être représenté par la formule:

(a-ïi:pj-i<îl^(a.

*-«oV . 5 (ai — gp)* (^ «i-»-«o\

OÙ l'on a désigné par a^, ca^ les limites des valeurs de la variable a pour lesquelles le polynôme inconnu

a^ -♦- aa* h- ba? -+■ c^ -*- rfa -*- e,

diffère de zéro le moins possible en continuant toujours à croître ou à décroître; à l'aide de ce polynôme les limites qu'on a trouvées dans le § 3 pour des écarts de l'expression (2) de l'unité, peuvent être diminuées dans le rapport 4:9.

§ 5. En se bornant à la première approximation, on aura d'après le § 3:

^ = 0,84713, 5=0,65616, m=l, 31271, tjj = 119°10',

cp == 58°46',

oii d'après (1)

De ces équations on tire

en mettant pour ^ et 5 les valeurs trouvées, on obtient:

Nous avons ainsi tout ce qu'il faut pour déterminer les dimensions de toutes les pièces du régulateur.

Supposons, par exemple

les formules ci-dessus nous donnent

Si l'on fait une épure du régulateur centrifuge conformément aux valeurs trouvées r, m, <);, on apercevra que cet appareil aura la forme représentée sur la fig. 2, où CD et CE sont ce que nous avons nommé les premières parties des tiges; leur longueur est prise pour unité (§ 2); AG et BG sont les secondes parties des tiges, dont la longueur r est égale pour notre exemple à 1,72115; DF, EF sont les bras soutenant la douille F; leuj- longueur est constamment égale à 1,31271; les angles ^C£J, 5(72) formés pas les premières et les secondes parties des tiges ont chacun 119°10'. Quant aux angles FCZ), EGF qui mesurent l'inclinaison des premières parties des tiges sur l'axe du régulateur, ils aui'ont chacun 58°46' pour la vitesse normale de rotation du mécanisme.

Le régulateur centrifuge ainsi composé aura ses tiges dirigées en haut, comme cela se voit sur la figure 2; les centres de ses sphères oscillantes se

trouveront élevés au dessus des points d'attache des tiges à l'axe du régulateur. En outre ce mécanisme se distinguera du régulateur de Watt dans sa forme habituelle par le poids P de la douille qui sera toujours plus considérable que celui des sphères oscillantes. Ainsi dans notre exemple P=4, 06355; donc le manchon sera plus de 4 fois plus lourd qu'une sphère.

Fig. 2.

Remarquons encore que les secondes parties des tiges doivent être recourbées (comme cela est indiqué sur la figure 3) pour que leur mouvement n'entrave pas le jeu des premières parties des tiges. En recourbant ainsi les tiges il faut observer que les centres des sphères doivent être rigoureusement à la distance r du point G et que l'angle entre les premières et les secondes parties des tiges doit être égal à 11 9° 10'.

§ 6. Jusqu'à présent nous n'avons pas examiné l'action des masses des tiges et des bras, comme c'est toujours l'usage dans la théorie des régulateurs centrifuges; mais, ayant en vue un si grand degré d'approximation à l'isochronisme, nous ne pouvons pas nous dispenser de considérer l'influence de ces parties du mécanisme. En introduisant dans l'équation de l'équilibre l'action de la pesanteur et de la force centrifuge sur les particules des tiges et des bras, on trouve pour le rapport -^ une expression qu'on peut mettre sous la forme (2) du § 2, si seulement la distribution des masses dans les tiges et les bras satisfait à une certaine condition. Il n'est pas difficile de donner à cette condition une expression analytique tout-à-fait rigoureuse, mais pour les besoins de la pratique, à cause de cette circonstance que les masses des tiges et des bras sont peu sensibles relativement à celles des sphères oscillantes, elle peut être exprimée avec la précision suffisante comme il suit:

«Si l'on donne au bras EF (fig. 3) séparé du manchon F une telle direction que la projection de son bout F sur le plan du régulateur*) coïncide

Fig. 3.

avec le point (7, il faut que le moment d'inertie de la tige entière ACE avec le bras EF qui y est attaché soit le même relativement aux deux plans qui sont perpendiculaires au plan du régulateur et qui font avec la droite AC au point A les angles égaux chacun à |-».

Quand chacune des deux tiges avec le bras qui y est attaché satisfait à la condition exposée et quand leurs masses sont peu sensibles relativement à celles des sphères oscillantes, on peut mettre l'expression pour le rapport ^ sous la forme (2) avec la précision tout-à-fait suffisante pour la pratique, si l'on pose:

9 = Z AGE -f- arcsin ^^^"^^^^ ',

-iP-*-Pi) W--K'} ,

où p est le poids d'une tige; ^^ — celui d'un bras; p est la distance entre le centre de gravité d'un bras et son point d'attache au manchon; X et T"

*) Le plan qui passe par l'axe du régulateur et par les centres des sphères oscillantes s'appelle le plan du régulateur.

— lissent les coordonnées du centre de gravité; Ç, y; — les bras d'inertie *) relativement aux plans yz, zx d'une tige avec le bras correspondant, quand celui-ci a pris la direction indiquée. On prend pour l'axe des x la droite AG; l'axe des y est une droite perpendiculaire à la première et située sur le plan du régulateur; l'axe des z est perpendiculaire à ce dernier plan (fig. 3). Par r on a désigné la distance entre le centre A et le point G. L'angle AGE mesure l'inclinaison de ce segment sur la première partie de la tige AGE. Ainsi, après avoir considéré l'action des masses des tiges et des bras, on peut mettre l'expression pour la quantité ~ sous la forme précédente (2) et l'on construira un régulateur qui même sous l'action de ces masses différera très peu d'un appareil rigoureusement isochrone, si l'on donne aux paramètres

A, B, m, ijj, 9,

les valeurs trouvées au § 2. En mettant ces valeurs pour -4, 5, «^ dans les formules (4), on aura les trois équations suivantes:

Z ^(7^H-arcsm ^i|^^^= 119^10'

qui remplaceront celles du § 5. Quant aux quantités m et cp, elles resteront les mêmes.

§ 7. Pour donner un exemple et pour montrer, comment on doit faire l'application des formules déduites, supposons qu'on a besoin de construire un régulateur centrifuge, pour lequel

Nous avons pris partout pour unité des longueurs celle de la première partie de la tige; donc g^ l'accélération de la pesanteur, sera un nombre plus ou moins grand dépendant de la longueur du segment pris pour unité. Par conséquent, on peut toujours choisir la longueur de ce segment de manière que le rapport

*) C'est à dire les quantités l/ïi!4iltl^^i±iil , l/^i^^^

yî'M^-

où l'on a désigné par Mi, M^;.. . les masses des particulea.de la tige avec le bras correspondant et par aîi, 2/i, ^'i, «2, ^2» '2> • • • les coordonnées des particules Mi, M2, ...

prendra la valeur 0,9 indépendammeut des valeurs que prennent la vitesse angulaire coo et l'accélération g.

En commençant l'évaluation des diverses parties du régulateur, nous négligeons d'abord, dans la première approximation, l'influence des masses des tiges et des bras; donc dans les formules (5) on peut poser

Or pour ces valeurs de i on tire les résultats suivants:

', de 2?i et pour ^' = 0,9 des expressions (5)

Fig. 4.

L ^CJ^=119°10',

La solution des deux dernières équations nous donne:

F est le poids de la douille, si l'on a pris pour unité des poids celui d'une sphère oscillante; par r est désignée la distance entre le centre de la sphère et le point d'attache de la tige à l'axe du régulateur.

Pour évaluer ces quantités plus exactement, cherchons la position approximative du centre de la sphère relativement à la première partie de la tige, position qui correspond aux valeurs déjà trouvées pour r et pour l'angle EGA. Prenons donc une droite quelconque EC pour la première partie de la tige et sa longueur pour unité; menons (fig. 4) une droite AC inclinée sur celle-ci sous l'angle ^C£'= 119° 10' et faisons

AC=r=\,12l.

Le point A sera la position du centre de la sphère dans la première approximation; le point G indiquera la position du point d'attache de la tige

Fig. 5.

à l'axe du régulateur, et toute la ligne brisée AGE sera située au plan du régulateur. En menant du point A les deux droites AG, AG^ qui font avec la droite .-1(7 les angles GAG, GAG^, ayant chacun 45°, et eu construisant sur ces droites les deux plans P, Pj, perpendiculaires au plan du régulateur, on trouve les deux plans du § 6: relativement à ces plans doivent être égaux les moments d'inertie de la tige avec le bras qui y est attaché et qui a pris une telle direction que la projection de son bout libre sur le plan du régulateur coïncide avec le point G. Ainsi tout le bras sera situé, évidemment, plus près du plan P que du plan I\, et la même chose aura lieu pour EG, la première partie de la tige. Donc l'égalité déjà mentionnée des moments ne peut subsister qu'au cas où il y a sur la seconde partie de la tige des points situés plus près du plan P^ que du plan P, mais alors cette partie de la tige doit être menée en bas au delà de la droite AG, car, les angles GAG et GAG^^ étant égaux, tous les points de cette droite sont équidistants des plans P et P^. D'où il est clair que la courbure des tiges (fig. 3), qui leur donne la possibilité de se mouvoir librement, est en même temps nécessaire pour qu'on puisse satisfaire à la dite condition de l'égalité des moments tout en laissant droits les bras et les premières parties des tiges.

Au fur et à mesure que les points de la seconde partie de la tige s'abaissent au delà de la droite AG la différence de leurs moments d'inertie relativement aux plans P et P^ augmente constamment, donc après quelques tâtonnements successifs il ne sera pas difficile de donner à ces points une telle position que l'égalité pour les moments d'inertie de toute la tige avec le bras soit atteinte. Evidemment, nous pouvons arriver à ce but en donnant à la tige des formes différentes. Ainsi, en supposant que le fil central de la tige (fig. 5) consiste en deux droites Cm, An, unies par l'arc mn du cercle qui les touche, et en laissant droites les premières parties des tiges avec les bras, nous avons trouvé que lorsque les sphères oscillantes ont au diamètre 0,8, l'égalité des moments est assurée, si l'on a observé les conditions suivantes:

1) L'angle ECm que font au point G les fils centraux de la première et de la seconde partie de la tige a 198°; la longueur du fil droit Cm est égale à 0,5; le rayon de l'arc mn est égal à 0,6.

2) La seconde partie de la tige GmnA, là où elle reste droite, doit avoir la largeur égale à une certaine quantité constante X. Mais la largeur de la partie recourbée de la tige va en croissant du commencement de la courbure jusqu'au milieu où cette largeur devient égale à -|- X; après quoi elle commence à décroître et à la fin de la courbure revient à sa valeur première X. La loi de la variation qu'éprouve la largeur de cette partie de la tige est telle que les fils extérieurs sont représentés par le arcs des cercles.

3) La largeur de la première partie de la tige près du point G est égale à X; mais dans la direction vers le bout E cette largeur diminue uniformément et au point E devient égale à -^ ^•

4) Sur toute l'étendue de la tige l'épaisseur reste constamment égale à une quantité quelconque [jl.

5) La surface des sections des bras reste sur toute leur étendue égale à 0,52 Xix.

6) La charnière qui sert à joindre la tige au bras (par cette expression on désigne tout ce qui est situé à l'endroit où la tige et le bras se touchent, et qui surpasse les limites prescrites pour la longueur, la largeur, l'épaisseur des tiges ou la surface de leurs sections) renferme 0,13 Xjx de nos unités cubiques.

Quand nous avons parlé de la figure du fil central CnmA de la seconde partie de la tige, nous n'avons rien dit de la longueur de l'arc mn et du segment nA, parce que la longueur de ces lignes est définie par cette circonstance que la droite An représente une tangente à l'arc mn, menée du point A. Quant aux cercles qui définissent la figure des fils extérieurs de la partie recourbée de la tige on peut les déterminer facilement, si l'on connaît la largeur de cette partie à ses deux bouts et au milieu, comme nous le montrerons plus loin (§ 9).

Remarquons encore que les proéminences et les échancrures des tiges près de G, leur point d'attache à l'axe du régulateur, n'influencent pas considérablement l'égalité des moments, dont nous nous occupons, car en cet endroit pour chaque point la difî'érence des distances aux plans P et P^ est peu sensible. On peut dire la même chose de ce bout du bras qui est articulé avec la douille, parce que l'égalité des moments ne doit subsister qu'au cas où la projection du bout considéré sur le plan de la figure coïncide avec le point G, ce qui suppose l'égalité de ses distances aux plans P et P^.

§ 8. Si l'on s'arrête au cas, où les tiges, les bras et les charnières qui les joignent sont construits conformément à ce qui était dit, et si l'on évalue

dans cette hypothèse les quantités p, i\, Y, ^, t), p qui entrent dans les formules (5), on trouve

Ici l'on a pris pour unité des poids celui de la sphère oscillante; dans le cas considéré, cette sphère a, comme nous l'avons vu, le diamètre égal à 0,8 et, par hypothèse, est faite de la même matière que les tiges, les bras et les charnières.

En mettant les valeurs trouvées dans les expressions (5) et en substituant au rapport — sa valeur 0,9, on a les équations suivantes qui déterminent r, P et l'angle ACE:

(7) L AGE -i- arc • sm „ ^;Vit p = H 9° 1 0^

En divisant la première de ces équations par la seconde, on obtient:

2f -4- 9,6 ly. 0,84713

(r2 -H 0,72 lix) • 0,9 0,65616 '

ce qui donne l'équation suivante pour r:

r2—l,72124r= 7,5X11; d'où il suit

r = 0,86062 -t- 1/0,86062^ -h 7,5 Xji..

Si l'on développe cette expression en série et si l'on s'arrête au premier degré de X[i., on trouve

(8) r=l,7212-H4,4Xp..

Pour passer à l'évaluation de P nous remarquons que l'équation (6) nous donne:

si l'on y met pour r sa valeur, trouvée plus haut, on en déduit (9) P= 4,0636 -f- 19X11..

Ayant évalué la quantité P, nous tirerons de l'équation (7) la valeur de l'angle AGE] enfin, connaissant cet angle et le segment AG=r, nous trouverons la position du point A, centre de la sphère oscillante.

Ainsi, avec la précision suffisante pour la pratique, se détermineront la tige et le poids du manchon. Quant aux bras, leur longueur m, comme on l'a vu (§ 5), reste toujours égale à 1,31271; la surface de leurs sections, par hypothèse, ne varie pas sur toute l'étendue des bras et reste égale à 0,52X|i-. Mais, évidemment, on ne changera rien dans les conditions de l'équilibre, si l'on considère les particules de la douille qui avoisinent le bras comme n'appartenant pas à celle-ci, mais au bout du bras qui y est attaché. De la même manière on peut attribuer à l'autre bout du bras une partie des masses, qui sont destinées à former le joint, articulant le bras avec la tige.

D'ailleurs, il n'est pas difficile de remarquer que, grâce à cette circonstance que les bras ont une masse peu sensible, les changements dans la distribution de la matière sur leur étendue n'influencent pas considérablement le mouvement du régulateur, si seulement le centre de gravité des bras conserve sa première position. D'où il suit, que dans la construction des régulateurs il n'est pas indispensable d'observer strictement notre supposition relativement aux sections des bras: on peut augmenter la masse des bras aux frais de celle du manchon et des charnières.

§ 9. Pour donner un exemple de l'application des formules trouvées plus haut, posons que les quantités X, jt qui déterminent d'après § 8 la largeur et l'épasseur de la tige, ont la valeur suivante:

X = 0,16; fi. = 0,12.

En mettant ces valeurs dans les expressions (8) et (9), on trouve

Si l'on introduit ces valeurs pour P,X, \l dans l'équation (7), on obtient:

/ An-P • 6,7-0,16-0,12 iiooia'.

Z ACE -H arc ■ sm ^^^^^;^ . ,^^,33 =119 10; d'où, en remarquant que

on déduit

£ACE-^l%8'=Ud°lO\

ce qui nous donne