En remplaçant dans cette équation i?j par

i?o, -^0 — -?^3, Bo—2Bs,..,., B, — {m—\)B,,

que nous supposons toutes ne pas être inférieures à i^g, nous trouvons une série d'équations qui donnent

sin(E3,[J?o,i?3]) sin(i?3,[i?o-fflJg3,^3]) sin (J?o, [^0. ^3]) sin {Eq - mE^, [E^ - mE^,E^]) — '^''^

ce qu'on peut mettre sous la forme

Ç2\ sin(i?3,[Jgo,-R3]).Ro/. E(,-mE^\ E^ sin {E^,[EQ-mE^,E^]) .\\

^ ^ siû(iïo,[i2o>^3]) -BaV -Ro \{EQ-mE^)sin{EQ-mE^,[EQ-mE^,E^-\) ^]p

en remplaçant le nombre m par la différence

^ Eq — mJ?3

égale à ce nombre.

C'est à l'aide de cette formule que nous parvenons à tirer de l'équation (1) la valeur du rapport

sin(J?^,[i?„J?,]) sin(B2, [JîijBaî)

*) FotV la démonstration du parallélogramme des forces de M. Darboux, citée plus haut.

4. A cet effet, nous supposons que, pour une force quelconque r, on ait trouvé une quantité L telle que la valeur numérique de

r sjg (r, [r, r,]) .

Ty sin(ri, [r,ri])

ne surpasse pas L pour toutes les valeurs de r^ depuis r,=r jusqu'à rj=2r, l'angle (r, ^j) étant égal à GO degrés. Dans cette supposition, en désignant par 6^ 0^^^ des quantités comprises entre zéro et 1, nous aurons, pour toutes les valeurs de r, = r -*- 6r, cette formule

rsin (r, [r,r-k-^r])

(r -+- Or) sin (r -+- 6r, [r, r -+- 6r])

Comme il est certain que la résultante ne change pas de direction quand on remplace les forces par leurs sous-multiples, on aura de même

(o\ JgaSiaÇEa, [R^,B^-i-^B^) - ^ Mo) j

^^ (2?3 -*- 9 E^) sin (Eg -i- QB^ , [i2, , Bg -♦- 6 Eg]) — ^ ^'

pour toutes les valeurs de

(4) iJ3=^.

w étant un nombre entier.

5. Mais, en prenant dans l'équation (2) pour m la partie entière du quotient

on aura

et, pour cette valeur de m, l'équation (2) devient

sm{Ro,[Bo,Bs])~~ B^\^ i?o ( (Kg-t-ôBg) sin (i?3-*-0i?3, [iîg.iîg-t-ôi^g])

qui, d'après (3), dans le cas de

nous donne

sin(Eg,[i?o,J!g]) ^0 fi H J?3H-ei?3 (o) ^"l sin (2?o, [Bo, i?g]) "~ i^g L B, ^ ^J •

En posant, dans cette formule,

et en désignant par

les valeurs correspondantes de 0 et d^^\ nous obtenons

3in(j;3,[J?i,.R3]) ^1 fi + ^3-^ei-Ra f) (0) ri sia (El , [E, , iÎ3]) ~ -^3 L -Ri "^1 ^ J '

3iQ(J?3, [i?2,-R3]) ^2 Tl H- B^-i-Q^B^ ^ (o) ^-|

sia (iÎ2, [iîa.-Bs]) ~ -«3 L — B^ ^3 ^J-

6. En portant ces valeurs dans l'équation (1), nous trouvons qu'elle donnera

sin (Bi , [By . B^]) ^ -Rg "'

d'où, par la substitution de la valeur (4) de li^, nous tirons cette formule: