APPLIQUÉES À UN SEUL POJNT

Bulletin de la Société Mathématique de France, publié par les Secrétaires. Tome VI. — Année 1877—78, p. 188—198.

(Séance du 14 juillet 1878).

Sur la résultante de deux forces appliquées à un seul point.

1. D'après un théorème sur les angles compris entre les plans qui passent par un point, on parvient aisément à une relation très-remarquable entre les angles que font les trois forces -Rj , B^^ B^, appliquées à un seul point et les résultantes de ces forces, prises deux à deux, savoir:

... sin (El, [En-Rg]) sia(J?g, [S^^Hj]) sin (^3, [jga, Ji!J) .,

^ >' sin (^2, [-^1,-^2]) si" (-R3» i^z^^i]) sin i^u [-^3, -Riî) '

OÙ par

nous désignons les résultantes des forces B^ et B^, B^ et i^g, B^ et i?i, et par

les angles entre les résultantes et les forces qui les composent.

C'est cette équation qui servait de base à deux nouvelles démonstrations du parallélogramme des forces, données en décembre 1875 par M. Darboux dans le Bulletin des Sciences mathématiques, et par moi dans une Communication faite à la Société mathématique de Moscou.

Nous allons montrer maintenant comment on peut trouver, d'après cette équation, la valeur du rapport

sin (J?^ , [El , J?2]) sin(Z?2, iEi,E^]f

sans rien admettre sur la direction de la résultante et la continuité.

2. Après avoir remarqué, d'après l'équation (1), que le rapport

sin (P3, [Ei,E.;\) aiii{E,,[Ei,E^])

ne dépend pas de l'angle fait par les forces i^j, i?3*), nous supposons que cet angle est réduit à 120 degrés^ et nous désignons par tp l'angle entre la force 7?i et la résultante [i?^, i^g] des deux forces E^, R^. Nous obtenons ainsi

3in JE,, [E, , J?3]) sin (120°- 9) Vl ^x„ ^^ . i sin {El, [El , E^]) ~~ sin ? ~ 2 ^"^^^ r 2'

Mais ou reconnaît aisément que la résultante d'un tel système de deux forces ne sera pas altérée si l'on diminue de 60 degrés l'angle compris entre elles, et que l'on diminue en même temps la force B^ de B^; car un tel changement de notre système peut évidemment être effectué si l'on y ajoute trois forces égales à B^ et disposées symétriquement autour du point d'application, savoir: deux forces dans les directions opposées aux deux forces en question, et la troisième faisant avec ces forces un angle de 60 degrés.

Or, pour le système de deux forces 2?^, B^ ainsi modifié, on aura, d'après notre notation,

sin (i?3, [El - E^,E,]) sin (60°-q>) Vs „„.„ ^ 1 sin [Ei—E^, [El— E3,Es])~ sin 9 ~ 2 ^"^6? 2'

ce qui, étant retranché de la formule précédente, nous donne

sin (E3 , [El , E^]) sin {E3 , [.R, — E^ , E^]) -

sin [El, [El, E,]) sin {El -E^, [El -E„E,])— ^•