T. I, PL

En déterminant d'après (1) les valeurs des dérivées

dFix,) dp,

dFix,) dp^

dF{x^) ' dp, '••

dF{x^) ' dp^ '••

dFix^j) " dp, '

dF{x^,) • • dp, '

dF{x,) dpn

dFix^) dPn '••

dFix^,) " dpn '

et les portant dans les équations précédentes, nous trouvons que celles-ci se réduisent au suivantes:

§ 3. La quantité ZT étant en dehors des limites x = — h, x=-i-Ji, entre lesquelles se trouvent toutes les fx quantités

aucune des différences

ne peut se réduire à zéro. Cela posé, nous allons montrer que le nombre fji des inconnues Xj, Xg,. . . . X dans le système d'équations trouvé ci-dessus doit surpasser le nombre n de ces équations, pour qu'on puisse leur satisfaire par les valeurs de Xj, X^,. . . . X^^^ différentes de zéro, comme cela doit nécessairement avoir lieu, d'après le théorème mentionné, pour la fonction F{x) que nous considérons.

Eu effet, si [a ne surpasse pas w, le produit

(x — X2)ix — Xs) (x — x^)

se réduit à un polynôme de degré inférieur à n, qui peut être représenté par

Ax""-' -i- Bx'"'' -^- ....-¥- K.

En désignant ce polynôme par cp (x), nous remarquons, d'après sa décomposition en facteurs, que

? W = (^i — ^2) (^1 — ^3) — (^1 — ^^); oM = 0, ^ix,) = 0, cp(rr^) = 0.

Remontant aux équations (2), les multipliant respectivement par

et prenant leur somme, nous obtenons l'équation ci-dessous:

{x,—H) 9 (x,) \-^ {x^—E) cp {x^) X2-*- ^- (^^— ^) ? {x^ ^^ = 0.

En y portant les valeurs trouvées plus haut des fonctions

nous remarquons que cette équation se réduit à

d'où il suit

parceque la différence x^ — Z/, d'après ce qu'on a vu, est différente de zéro et les quantités rr, , a^g , . . . . a?^ sont différentes entre elles.

On démontrera d'une manière analogue que pour it^^n les équations

(2) donneront

On voit d'après cela que le nombre pt,, qui indique combien de fois la fonction considérée entre a; = — h et x = -\-li atteint les valeurs limites — Z et -I- Z sans les franchir, doit être plus grand que w; donc l'équation

doit avoir au moins w h- 1 racines entre rz; = — h et x = -^'h. Parmi ces n "♦- 1 racines il y en aura au moins n — 1 différentes de — /i et de -i- h\ ces w — 1 racines ne peuvent être racines simples, car, x passant par une racine simple de l'équation (3), F^{x) franchit la quantité U^ ce qui est contraire à l'hypothèse.

En remarquant d'autre part que les racines multiples de l'équation (3) vérifient l'équation

de degré n — 1 d'après (1), nous concluons que l'équation (3) ne peut avoir plus de w — 1 racines multiples. En les désignant par

nous arrivons à la conclusion, d'après ce qu'on a dit plus haut, que le premier membre de l'équation (3) est divisible par le produit

D'ailleurs, il est facile de voir qu'il est aussi divisible par le produit

En effet, l'équation (3) ne peut avoir, comme on a vu tout-à-l'heure, plus de w — 1 racines multiples ; or, entre x=^ — h et x=-^h^ d'après ce qui précède, se trouvent au moins w -f- 1 racines, donc deux de ces racines doivent être simples. Mais, comme on a remarqué, les racines simples de l'équation (3) ne peuvent être que

ce qui entraîne la divisibilité de son premier membre par le produit

C'est ainsi qu'on s'assure que la différence

F\x)—L' est divisible par

(^ ^ja (X — x,f {X —x,y....ix- x^;)'

et par

cela veut dire, par leur produit

llMlVf'^SiTY

Remarquant encore que d'après (1) ce produit est du même degré que la différence

nous en concluons que cette divisibilité entraine l'égalité

F^ ix) — X2 = C{x — x^i" {X — x^y {x — x^J' {x^ — h\

C désignant une constante. Cette égalité nous donne l'équation

(4) jP2 (^) — J} = {x" — ¥) 0^ (x), 0{x) étant une fonction entière, définie par la formule

(5) 0ix) = ±yGix — x,) (x — x,). . . . (x — x^^^),

où le signe du radical ± Y G se détermine de la sorte que le terme du plus haut degré de 0 (x) ait le même signe que le terme analogue de F{x).

§ 4. En abordant la détermination de la fonction F{x) d'après l'équation (4), remarquons qu'elle peut être écrite sous la forme

F' (x) — {x^ — Iv") 0^ {x) = L\

d'oii l'on déduit, en décomposant la différence

F\x) — {x'' — W) 0\x) en facteurs

[F{x) — 0 {x) Vx^ — h^) [F{x) -+- 0 {x) Vx^ — h^)^

l'égalité

F{x) — 0{x)Vx^ — li^ = -

ce qui nous donne après la division par 0{x) l'équation

'^ (^) 0 {x) [F {x) H- (D {x) Vx^ — ft2]

A l'aide de cette équation, comme nous avons montré dans le Mémoire mentionné ci-dessus, l'expression de la fonction cherchée F{x) peut être obtenue par le développement de Vx^—h^ en fraction continue. Nous allons montrer maintenant comment cette fonction peut être trouvée sans le secours

des fractions continues. Remarquons dans ce but qu'en désignant par P, Q les fonctions entières représentées par les égalités

on trouve

Or, remarquant que le produit

{x-i-v^zih^) (a;y^2z::^)

est égal à h^, nous aurons

x—Vx' — h^

en vertu de cela, l'égalité précédente donne

P—Qyx^ — h^ = ;

(x -t- Vx^ - h^)

d'où l'on obtient, en divisant par Q,

En soustrayant cette égalité de (6), on aura

ce qui nous donne, en multipliant par 0 {x) . Q, l'équation

' F{x) -*- Q {x) Vx2 — h'i (x -f- Vx^ — h^T

En considérant le second membre de cette équation, nous remarquons que les deux termes qui y entrent représentent des expressions de degrés négatifs, les fonctions UQ, h^^ (D {x) aux numérateurs étant de degré n — 1, d'après (5) et (7), tandis que les fonctions F {x) -\- 0 {x)'V x^ — W^ {x-^Vx^— h^f aux dénominateurs sont de degré w, d'après (1) et (5). Par conséquent notre équation, dont le premier membre représente une fonction

entière, iie peut être satisfaite que dans le cas où l'un et l'autre de ses membres se réduisent à zéro, c'est à dire, lorsque

On trouve de là

Fix) F 0(x)— Q'

et remarquant que d'après (4), (5) et (7), la fonction F{x) n'a pas de facteur commun avec (Z> (ic), non plus que P avec Q, nous concluons que F{x) ne peut différer de P que par un facteur constant; donc

Fix) = C,P,

Cj désignant une constante. Cette valeur de F(x), en y portant l'expression de P, tirée de (7), nous donne

P(X) = C (a: + /^^^^^P)" H- (g; - y^^^rr^)"

§ 5. Pour déterminer la constante Cj, remarquons que d'après le § 1 la fonction F{x), pour x = H, est égale à M. En faisant dans l'expression trouvée de F{x)

x = H, nous aurons

ce qui, étant égale à M, nous donne l'équation suivante pour l'évaluation de G,:

d'où l'on tire

1 {H-t- vm — /î2)" -I- (fî — vm — h-^T En portant cette valeur de 6\ dans l'expression de F{x), on obtient

Ainsi s'exprime la fonction entière de degré w, qui, étant égale à M pour x^=H, s'écarte le moins possible de zéro dans l'intervalle dex= — h

h x = -\-h, ne comprenant pas la valeur x = H. Pour trouver i, la limite de ces écarts, remarquons que l'équation (4) nous donne pour x^=h

d'où

En posant x==h dans l'expression trouvée de F{x) nous aurons en vertu de cela l'égalité précédente nous donne

d'où l'on tire l'expression suivante du rapport

M^ (h -4- Vm — }fiT -H (g — Vm - Tiif

qui, d'après le § 1 , représente la limite supérieure du rapport de la valeur d'une fonction entière de degré n pour x = H au plus grand écart de zéro de la même fonction entre x = — h et x = -^-h, en supposant que H est extérieur à l'intervalle entre x = — h et x = -\-h.

En représentant l'expression trouvée sous la forme

et mettant au lieu de

l'expression équivalente

nous trouvons

(T->/f-in

Cette égalité donne pour la valeur de

l'expression

Pour savoir lequel des deux signes ii= doit être pris dans cette formule, supposons qu'on ne donne que des valeurs positives aux quantités h et H\ dans ce cas on aura

par conséquent d'après (8)

Cette inégalité nous montre que l'égalité obtenue ne peut être satisfaite qu'avec le signe supérieur du radical V-jj — 1, et qu'on doit avoir par conséquent

d'oi^i il suit

Or, en déterminant d'après cette égalité le nombre n, nous trouvons

ce qui donne la limite inférieure du degré d'une fonction entière dont le plus grand écart de zéro entre x = — h et a? = -+- A est égal à Z et qui prend la valeur M pour x^H non compris entre x = — h Qi x= -\-h. Toutes les quantités /?, H^ L, M sont supposées positives.

§ 6. Nous allons nous occuper maintenant de la même question par rapport à la fonction trigonométrique de la forme

I Aq-^A^ cos 9 -I- ^2 cos 2cp -t- . . . . -f- A^ cos wç ( -+- j^i sin cp -f- ^2 sin 2 ç -*-....-*- 5„ sin wcp,

que nous désignerons pour abréger par

Nous supposerons connue la valeur de cette fonction pour une certaine valeur

et nous désignerons, comme ci-dessus, cette valeur par M; nous allons chercher ensuite parmi toutes les fonctions de la forme (9) qui satisfont à l'équation

/•(<?,) =iif

celle, qui s'écarte le moins possible de zéro entre deux limites données cp = — 9o, cp = -f- cpo) la valeur cp^ n'y étant pas comprise.

Pour réduire la fonction /'(cp) à une forme algébrique, introduisons une variable x en posant

En tirant de là

siii? = ^' coscp = ^',

nous remarquons que la formule (9), après la substitution des valeurs des sinus et cosinus des angles multiples de cp, se réduira à la forme*

Co, Cj,. . . . C\ désignant des constantes.

(10) Co^^'^-i- cy^-^-i- ....-*- G^^=^F(x\

nous pouvons écrire l'expression de f((^) sous la forme

Or, en posant (12) tang^ = /^; tang-|-=^,

nous remarquons que d'après (11) l'égalité

à laquelle doit satisfaire la fonction cherchée, se réduit à la suivante:

D'où il suit

(13) F{H) = {E^-^\fM,

ce qui entraine la réductibilité de la fonction F{x) à la forme

[p^x^—^-^i^^x'—'-^ .... -^pj (x — H)-^ {H' -H ITM, où

désignent des quantités constantes qui doivent être déterminées par la condition que la fonction

entre x = — h et x= -\-h s'écarte le moins possible de zéro.

En désignant par L le plus grand écart de zéro entre x = — h et x = -*-h de la fonction cherchée et appliquant le théorème déjà cité, nous arrivons, à l'aide des raisonnements exposés aux §§ 2, 3, à l'équation suivante à l'égard de la fonction F{x)

F' (x) — L^ (x^ -t- 1)2"= Cix^ — ¥) {x — x,Y {x — X,f {X — iC^n-i)'»

iCj, rCg, • • • • ^2n— 1 <^ésignaut des quantités réelles inégales. Cette équation se réduit à la forme

(14) F^ (x?) — L^ {x^ H- 1)'"= ^' (x) (x^— ¥}. en posant

(15) 0{x) = ±yGix — x,) (x-x,). . . . {x — x^^;},

où le radical doit être pris avec celui des deux signes =t pour lequel le rapport

se réduit à une quantité positive.

§ 7. Passant à la résolution de l'équation (14) nous remarquons que pour

x = V'^^ elle donne

F^ (y HT) = (1 ^ /^2) 02 (yzTï);

d'où il résulte, après l'extraction de la racine,

F(yHT) = ±0 (y^T) VT^^KV^^,

où, d'après ce qu'on vient de dire sur le choix du signe dans la formule (15), l'on doit retenir le signe supérieur, ce qui donne

(16) F (y^^) = 0 (v=i) vw^^ . v^i.

En posant

dans cette équation, nous trouvons

2?2 ( yZTI) = ^2 ( yzri) ( 1 7,2)^ d'où l'on tire, en extrayant la racine, les deux valeurs suivantes de jP(— V^T):

F (— y^^) = -t- y\-^¥ , 0 (— y^^ ) . y ^^i ; i^ (— y^=ô;) = — y îTïT^ . ^ (— y "-iTY) . y HT.

A ces deux valeurs de F{ — V — 1) correspondent, comme nous le verrons, deux solutions différentes de l'équation (14) dont la recherche va nous occuper maintenant.

En nous arrêtant au cas de

(17) i^(yirï)=yiTrF.(p(— y^=^).y^^,

désignons par P et Q les fonctions entières, déterminées par les égalités:

( p = 1 \{vwTÂ -4- yF^T^^) '" -♦- (y¥^n — yÂ^z:^^)^"] ,

ç = --i= (y^^:rT -♦-y'^^=^^)'Mi//?^--/^^=^)"1 •

y 2 Vx^ — h^ J

En déterminant à l'aide de ces égalités les expressions de la somme P-H Q\/x^ — h^ et de la différence P — QVx^ — h^, nous obtenons:

P-^Q Vx^ — ¥ = {Vhj' -H 1 -H Vh^ — x^Y'', Ces expressions étant multipliées l'une par l'autre donnent

p2 ç2(^2^2)^j-(yp:;T-HyF^^) {vj^::i—y¥^^')Y={x'-^iy''.

Il en résulte que

En multipliant cette valeur de P^ par celle de F^{x) qui d'après (14) est égale à la somme

r/^2 {x) {x^ — ¥) -t- L' {x^ H- 1 )'", nous trouvons

P\F\x)=Q'.cp%x)(x^—h^f-^L\x^-^iy''-i-{x^—¥){x'+lf''[UQ'-^0%x)l

ce qui donne

P\F\x)—Q\(P\x) {x^-¥f=L%x'-i-iy''-i-{x^—¥) {x^^iy''[L''Q^-+-0\x)],

d'où l'on déduit, en décomposant le premier membre en facteurs:

[PF(x) -+- Q0 (x) (x^ — h^j] [PF{x) — Q0 (x) {x^ — h^)] = {x'-i-lf'' [L\x^-+- lf^-^{x'—h') {L'Q^-^-0'{x))],

Or, comme il est aisé de montrer, le premier facteur du premier membre

PF{x)-+-Q0{x) ix^ — ¥)

ne se réduit pas à zéro pour x=zt:V — 1, racines de l'équation x^-i-l=0. En effet, en vertu de (16), (17), (18), pour x = ±i V — 1, on trouve

P=2'''-'{h'-^lf; Ç = ^(/ia-i-l)^-^; d'après cela pour ces valeurs de x l'expression

PF(x)-^Q0{x){x^ — h') se réduit à

yHl. 22^^(1 -4- /z^)*^-*-^ 0 (zt V^^);

Or, cette expression ne peut être égale à zéro, la fonction 0{x), d'après (15), n'étant égale à zéro que pour les valeurs réelles x^x^, x^^. . . .a?2n-i-

Après avoir montré ainsi que le premier facteur du premier membre de l'équation obtenue ne se réduit pas à zéro pour les racines de l'équation a?^ H- 1 = 0 et n'a, par conséquent, pas de diviseur commun avec (x^-t-lf"', nous pouvons conclure, en vertu de la même équation, dont le second membre est divisible par {x^ -h 1)^'*, que

le second facteur du premier membre, est divisible par {x'^ -y- \f^.

D'ailleurs, en représentant les équations (14), (19) sous les formes

{f(x) — 0 (x) y^^Tz^) (^(^) j 0 (^>j y^rzi^a) = i2 (-^2 ^ 1)2»^ (p-f- ç y^^zrx^) (p Q Vx^—h') = (0^2 ^ lyn

et en les multipliant l'une par l'autre, nous trouverons

[P. Fix) — Q0 {x) {x^ — Ji") -+- (ÇP(a;) — P. (Z) (a;)) y ^2 ^

[P. P(a;) — Q0 {x) {x^ — h^) — [QFix) -~P,0 (x)) Vx' — h^]

= L'{x^-^iy'',

ce qui se réduit à l'égalité suivante:

[P. F{x) — Q.0(x) (x' — ]i')f — [QFix) — P0 {x)f (x' — h')

= L'{x^-i-iy\

Ov, d'après ce qu'on à démontré ci-dessus, l'expression PFix)—Q0(x){x^ — ¥) est divisible par {x^-i- 1)^", on en conclut la divisibilité du terme

[QFix) — P0 ix)J ix' — ¥).

par ix^-i- 1)^^. Remarquant encore que x^ — ¥ n'a pas de diviseur commun avec ix'^ -H 1)^", on en tire que

[QFix) — P0ix)J

est divisible par (a;^-*- 1)"^, et par suite que

QFix) — PcDix)

est divisible par ix^-^ 1)^", ce qui ne peut avoir lieu que pour

QFix) — P0ix) = O,

car, d'après (10), (15), (18), les fonctions F{x), P sont de degré 2w, et 0ix), Q de degré 2n — 1, donc

QFix) — P0ix)

ne peut être de degré supérieur à An — 1.

L'égalité obtenue entraîne comme conséquence que

Or, d'après (15), la fonction 0(x) ayant tous ses facteurs linéaires différents de x-t-V — 1 et x — V — 1, dont le produit est x^-¥-l, les fonctions F{x) et 0{x), en vertu de l'équation (14), n'ont pas des diviseurs communs. Cela posé, la fraction

ne peut être égale à la fraction

dont les termes d'après (10), (15), (18) sont respectivement du même degré que ceux de la première, que pour

G' désignant une constante.

En portant dans l'égalité

l'expression de P tirée de (18) nous trouvons que

C'est ainsi que s'exprime la fonction F{x) qui satisfait à l'équation (14) dans le cas oii

Quant au cas, oii cette égalité est satisfaite avec le signe — , l'expression de la fonction F{x) qui satisfait à (14) s'obtiendra, d'après ce qu'on a vu ci-dessus, en prenant pour P et Q les fonctions :

P = 4 [{v¥n: X -f- y^^^:;^)"* -^ {v¥^^ x — y^^^:^)'"] , Q = —À= [{vWTi x-^r- y^^n^)'"— WWn x — V^—h^y'X

2 Vx^ — h"^ L J

Ainsi s'obtient la seconde solution de l'équation (14), oîi

F{x) = I G" [{v¥^^ X -+- Vx^—h^y'-i- (y^^in X — y^^zrx^)'"].

§ 8. Des deux solutions trouvées on doit choisir celle qui donne la plus grande limite du rapport

Dans ce but nous allons chercher la valeur de ce rapport en prenant d'abord pour F{x) la première solution et ensuite la seconde.

En comparant entre elles les deux valeurs du rapport ^j ainsi obtenues, et supposant toujours fl'> h, il ne sera pas difficile d'en distinguer celle qui donne la solution de notre problème.

En retenant la première valeur de F{x) et en y faisant

nous trouvons

F{H) = % [(yF^TT -+- yF=r^)'V (y^r:rr- y^:=:^)'"],

ce qui étant porté dans l'équation (13) nous donne

%. S^-v'W:^~v- vW^irËT-^ (]//7^;:T- v¥^=^T~\={b.''-^\Tm,

d'où l'on tire la valeur suivante de C':

^ / /rrr. ,—: ■=--\'>n / i^n:—

En portant cette valeur de G' dans la première expression de F{x), on l'obtient sous la forme:

d'où il suit, en faisant x = h,

Or, d'après l'équation (14) en faisant x = h, on a

d'où l'on tire pour la valeur de L:

ce qui se réduit après la substitution de la valeur trouvée de FQi) à

En tirant de là le rapport

on obtient

ce qui peut être représenté, comme il est aisé de voir, sous la forme: ^ = zh cos ( 2w . arc . cos "^Ij^).

§ 9. Passant à la seconde valeur de F{x\ représentée par la formule

F{x) = -i G" \{y¥n X -f- y?ir^)'" -+. (yF^:rî x — v'^'^^T'],

on obtient pour x = E

ce qui étant porté dans l'équation (13) donne l'équation suivante pour l'évaluation de G":

y G" [(vF^Tï H-i- yip—hT-^ (VFTI H— y H' - hT~\ =

En tirant de là la valeur de G" et en la portant dans l'expression considérée de F{x)^ on trouve

ce qui donne pour x=^h

^ ^ iVh^ -*- 1 fi" -4- Vh^ — K^f'' -f- {vï^^^ R — Vm- h^Y'' '

Or, en faisant

x^li, dans l'équation (14), on obtient

F\h) — L\h^ -*- ir = 0; d'où il suit

J^-— — (ft2 ^ i)n '

ce qui se réduit après la substitution de la valeur trouvée de Fiji) à

(yh^ -f- 1 H-*- vm - h^f'-t- ivh^ -4- 1 H—Vm - h-^T

d'où l'on tire

Or, comme le produit

(R 1 /fe^Ijrï i/ R2 — h^ \ /H-i/feâTT i/ H^ — h^ ]

se réduit à l'unité et par conséquent

T y JÎ2-+-1 K (S2^ i)ft2 — \h y if2-t-i "^ r [R^-^i)hv '

la valeur ci-dessus de -^ peut être représentée sous la forme

X — -— T LV"^ K 5^^^ ~*~ r (S2-*-i) A^/ "*" V 7i r H2TÎ ~*~ K {H2-t-i)h^i J*

En considérant l'expression comprise entre les parenthèses [ ], nous remarquons que la plus petite valeur qu'elle acquiert pour

est 2. Il en suit que la valeur numérique du rapport

trouvé ci-dessus ne sera jamais moindre que 1; ce qui donne la limite supérieure de ce rapport, car la valeur de ce rapport obtenue antérieurement

zt cosl 2w.arc.cos

y R^-^ii

est toujours comprise entre -4-1 et — 1 .

On voit d'après cela que la limite supérieure du rapport

pour la fonction considérée sera donnée par la formule

où des deux signes =b nous ne retiendrons que -♦-, en prenant pour L et M les valeurs numériques du plus grand écart de zéro de cette fonction entre x = — /i et a; = -i- 7i et de sa valeur pour x = H. Dans cette supposition nous aurons toujours

En portant ici d'après (12) les valeurs

;i = tangf, ^=tang| et remarquant que

nous trouvons

Cela donne pour une fonction de la forme

Aq -f- A^ cos 9-1-^2 cos 2o -+- . . . '-^ A^ cos wç -f- J5j sin ç -f- ^2 sin 29 -i- .... -1- -S^ sin wp

la limite supérieure du rapport de sa valeur pour 9 = cp^ à son plus grand écart de zéro entre 9 = — 9^ et 9 = 90 ne comprenant pas la valeur 9 = 9^ .

§ 10. En déterminant à l'aide de l'égalité obtenue la valeur de la différence

nous la trouverons égale à

(comme nous le supposons toujours), c'est le signe -t- qu'il faut prendre dans l'expression ci- dessus.

En effet, en portant dans l'expression

la valeur de -^ tirée de la dernière égalité du § précédent, nous trouverons qu'elle se réduit à la suivante

où pour

sin|->0, sin^>0

le second terme est moindre que le premier, parceque celui-là se réduit à

après le remplacement de l'expression

par

!!!i i//!!!lV i

qui lui est équivalente.

Ayant ainsi démontré qu'en représentant la différence

par la formule

il y faut retenir le signe -♦-, nous en concluons que