POUR CERTAINES VALEURS DE LA VARIABLE

(T]RAX)UXT PAÏl G. A. POSSK.)

npiL wzâomppux^ êcAnzimaxii nepejif&uuoïi.

(npHJioacenie Kt XL TOMy 3anncoK-i, HiinepaiopcKOu AKaaeMia HayKt, jYs ^ 1881 r.)

(Lu le 23 âécemlve 1880.)

Sur les fonctions qui s'écartent peu de zéro pour certaines valeurs de la variable.

§ 1. Si une foiictioa entière F{x) s'écarte peu de zéro, entre les limites x = — /^, X = -^ Ji^ elle ne peut atteindre en dehors de ces limites une valeur considérable pour x peu différent de — h ou de -\-h que dans le cas où le degré de cette fonction est assez grand. Nous allons montrer maintenant de quelle manière, d'après le degré de F{x) et la limite supérieure de son écart de zéro pour les valeurs de x entre — h et -t- /^, on pourra trouver la limite supérieure de sa valeur pour x = H en dehors des limites — h et --1- h. Or, comme toutes les valeurs de la fonction F{x), tant entre les limites x^= — h et x = -\-- h, que pour x = H, peuvent être modifiées dans un rapport voulu à l'aide de l'introduction d'un facteur constant, nous allons nous borner, pour simplifier l'exposition, à la supposition que la fonction F{x) ait une valeur donnée M pour x = H et nous allons chercher ensuite parmi toutes les fonctions entières, satisfaisant à la condition

et étant d'un degré donné n, celle qui entre x = — h et x=. -h- h s'écarte

le moins possible de zéro. En désignant par L le plus grand écart de zéro

entre x-= — h et x= -^h d'une telle fonction et remarquant que pour

toute autre fonction du même degré et ayant la valeur M pour x = H le

plus grand écart de zéro entre a; = — h et x= -i- h surpassera L, nous

devons conclure que le rapport

correspondant à la fonction considérée, représentera la limite supérieure du rapport de la valeur d'une fonction entière de degré n pour x = H au plus grand écart de zéro de la même fonction entre x = — h et x = -*-h.

§ 2. Passant à la détermination de la fonction F{x) sous les conditions mentionnées, remarquons qu'étant de degré n et se réduisant à M pour x = H, elle doit avoir la forme

PuPiT ' ' ' Pn—i^ Pn désignant des constantes. Ces constantes dans la fonction considérée se déterminent d'après la condition que cette fonction entre x=z — h et x:=-i-h ne surpasse pas les limites — L et -t-L, entre lesquelles ne peut rester aucune autre fonction de la même forme pour les mêmes valeurs de la variable. Pour déterminer les valeurs des constantes Pi^ Pij' • • • Pn—i^ Pn d'après cette condition nous allons nous appuyer sur le premier théorème de nôtre Mémoire sous le titre: »Sur les questions de minima qui se rattachent à la rejprésentation approximative des fonctions))^). Ce théorème est applicable à la détermination des coefficients de la fonction F{x), cette fonction ainsi que ses dérivées restant continues et finies entre x = — h et x = -^h.

Eu vertu de ce théorème et désignant par

les diverses valeurs de la variable x, pour lesquelles la fonction F(x) entre x = — h et x=: -t-h atteint ses valeurs limites — L et -i- L, nous concluons que le système de n équations

aux ti. inconnues

doit avoir une solution où les valeurs des u. inconnues Xj, \,. . . .\^ ne sont pas toutes égales à zéro.