AUI TERMES DU QUATRIÈME ORDRE PRÈS

(T]RADUIT PAR A. X. LJAPOUNOr.)

G npccniTcîïiuux^ napa.i.icACzpaji.nax^^

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{Upwnoseuie s-b XL-iiy TOMy SanHCOKi. IlMnepaTopcKoS AKa;[eidH HayTci,, .Ne 1, 1S82 T.)

(Lu U 24 novembre 1681.)

Sur les plus simples parallélogrammes qui

fournissent un mouvement reetiligne aux

termes du quatrième ordre près.

§ 1. Dans un Mémoire Sur les parallélogrammes composés de trois éléments quelconques, lu le 18 décembre 1879 '^), nous avons montré comment, par la considération du mouvement d'un triangle dont un sommet se déplace sur un cercle et un autre sur une droite, on peut trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour que tout triangle donné, dont deux sommets se meuvent sur des cercles, décrive, par le troisième sommet, une courbe ayant un contact du cinquième ordre avec une droite.

On obtient ainsi une solution complète de la question sur la recherche des plus simples parallélogrammes qui fournissent un mouvement rectiligne, pour des déplacements infiniment petits, jusqu'au degré de précision le plus élevé possible.

Or les formules que nous avons développées dans ce Mémoire peuvent servir encore, ainsi que nous allons le montrer maintenant, à déterminer tous les parallélogrammes les plus simples qui fournissent un mouvement rectiligne avec une précision d'un degré moins élevée; c'est-à-dire, tels que le contact, avec une droite, de la courbe qu'ils décrivent n'est que du quatrième ordre. Nous y parvenons en considérant les conditions pour qu'un triangle, dont un sommet se meut sur un cercle et un autre sur une droite, décrive, par son troisième sommet, une courbe ayant un contact du quatrième ordre avec un certain cercle.

§ 2. En retenant les notations du Mémoire cité, nous supposons que le sommet A du triangle AA^M (fig. 1) se meuve sur un cercle, dont le centre se trouve au point G que nous prenons pour origine des coordonnées, et que le sommet M se déplace sur une droite FG parallèle à l'axe des x.

*) T. II, pag. 301—331.

Soit Cj le centre du cercle ayant un contact du quatrième ordre avec la courbe que décrit le sommet A^ . Le rayon de ce cercle sera désigné par rj .

Eu désignant par a^ la valeur de l'angle variable a = AMF correspondant à la position du sommet A^ sur le cercle C\, au point de contact avec la courbe que décrit ce sommet, nous remarquons que le contact ne peut s'élever jusqu'au quatrième ordre que si la distance Afi^, a étant voisin de a^, se développe suivant les puissances de sina — sina^ en une série de la forme

Afi^ = r^-^ Kq (sin a — sin x^f -*-....

Or, en désignant par x, y les coordonnées variables du point A^ et par a:^, 2/1 les coordonnées du centre fixe Cj, nous avons

Passant par suite à la détermination des coordonnées x, y, posons AA,= a; AC=r, GF=h, AM=m, MAA, = A, AGx=i^.

Alors, en projetant la ligne brisée GAA^ sur les axes des coordonnées, on aura

x = r cos p -f- a cos (^ — a),

y = r sin ^ -\~ a sm{A — a);

et en projetant la ligne brisée GAM sur l'axe des y, on obtiendra cette relation entre les angles variables p = ACx et a = AMF:

CF =h = r sin p — m sin a.

En tirant de cette relation les valeurs de sin |3 et cos p, on trouve

n ^ Ai /m siaa -i-6\2 cosp = j/l— ^ ),

ce qui, étant substitué dans les expressions des coordonnées, nous donne

X = Vr^ — (m sin cx.-*-bf-^a cos (A — a); ?/ = m sin a H- a sin {A — a) -h h.

Substituons ces valeurs de x^ y dans l'expression du carré de la distance Afi^:

A,G,' = {x — x,f^{y — y,)\ Nous aurons:

Afi^^ = [Vr^— (m sin (x.-^hf-^a cos (^ — a) — x,Y H- [m sin a -♦- a sin {A — a) -+- 6 — y^\

et de là^ en éloignant les parenthèses, il vient

(1) Afi^= 2 [a sin ^ sin a -*- a cos ^ cos a — x^]Vr^ — (m sin a h- 6)^

-H 2 [am sin ^ sin a -*- «^ (6 — y^) sin A — ax^ cos A] cos a H- 2 [a (y^ — h) cos A — ax^ sin A — my^] sin a

— 2am cos ^ sin^ oc -\- r^ -^ x^^ -t- y^ {y^ — 21) -*- a^.

Telle sera l'expression du carré de la distance du sommet A^ au point (7i, quelle que soit la courbe que décrit le sommet A^] et nous avons vu que, dans le cas oiî cette courbe a, au point correspondant à a = a^ , un contact du quatrième ordre avec le cercle ayant G^ pour centre et r^ pour rayon, cette expression sera développable en une série de la forme

r^ H- 2rj j^o (sin a — sin aj^ -+-....,

Nous aurons donc, dans le cas considéré, cette égalité:

2 [a sin ^ sin a -*- a cos ^ cos a — xj Vr^ — {m sin a -t- hf -i- r^ -¥- x^ H- 2 [am sin A?,moi-+-a{b — y^ sin A — ax^ cos A] cos a -+- ^/j (^/i — 2&) — 2awi cos A sin^ a -*- 2 [a (^/j — &) cos A — ax^ sin A — my^] sin x-t-a^ = r^ -4- 2rj/iro (sin a — sin a^)^ -♦-....

§ 3. Pour présenter cette égalité sous une forme plus maniable, nous introduirons, au lieu de a, une variable z liée avec a par l'équation

(3) sina=: yî

où

^ = sinaj.

Ou voit que, si l'on tire de cette équation les expressions de cos a et

y^2 — (wsina-i-&)^ et qu'on les porte dans l'égalité (2), celle-ci, en chassant le dénominateur, se réduira à la forme

oii X, p., Po, Pj, Pg, Pg, P^ sont des constantes que l'on pourra facilement exprimer par les constantes A^ a, w, r, rj, ?j, oJj, ^/i qui figurent dans l'égalité (2).

Il est facile aussi d'obtenir les équations qui permettent de déterminer les anciennes constantes

A, a, m, &, r, r,, x^, y^ par les nouvelles

^^ f^? Poj -M? ^25 ^3) ^45

en observant que l'égalité (4), si l'on y substitue la valeur de s résultant de (3), doit se réduire à une égalité identique avec (2). Comme on tire de (3)

qui

donne

sin a — d

— d sin a

-df

• • > cos a.

sin a — d sin a — fZ d (sin a

1 — d sin a

Vl-d^ sin a—d

- d sin a)2 sin a

— (sin a — d)2 ~d

(h^-{g-*-df \h(l~d^)

sina-i-

^—h^-\-gd-t-l) h (1 — d2)

-gf-

Vh^-id