df
sin a —
l'égalité (4) se réduit à
^(^-^') (^-d)sma / ih^^ig-Tdr. g -^ {g^ - h^ ^ gd ^- 1) dx2
vu--[g-*-df (sin ^-dry 1- 1 un-d-) ^'^ mi-d^) — -)
+- ^ (^ - ^^) T/l-d=^.tXC03a -, / / h"" - (g -H d)"^ g -H (^2 /,2 ^ grf ^ 1) rfx 2
7i (1 — (Z2) 1 — dX
~"^ ^A Th^ — [g -t- d)-^ . JT'ïgï^n^^^i^ldTïTdX'i
Vh--{g^df (sina-d)^}/l-( ;,(!,.) ^^"^-"^ Ml -4 ^)
, (P2 — -P3<^ + Fj'^^) sia^ « — (2P2<? — P3 (1 + (?'=) -f- 2P4d) sia « P.^d^ — Pa^? -^ f ^ (sin a — df "* (sin a — d)*
P, - PqC? -^ (Pq - P,d) sin g y 3^^
(sin a — <î)2 *^ ^ " • COS a
Xq (sin a — d)"^
En rapprochant cette égalité de (2), ou voit que, pour les rendre identiques, on doit poser
r hil — d-^) '
b ^g-^ig^-h^-i-gd-*-l)d^ r /i (1 — d2j ?
/ON « ^ uVl — d^
(8) — i:™s^ = T^rdr;
am sia A
Po-F.d
— 2/i) sin A -
- ax
l-dl
i cos A
-F^dVh-^-{g^-
^1 «m cos A
Fz
— d\ liYi d2
yft2-(^-i-(Z)2.
rx.
1 — dX
Zl (1 - d2) '
, „s g (yi-&) cos A—aXi sin ^-wyi 2P^d-P^ (l-f-d^) -4- 2P4(Z V /t^ — (g -t- d)^ ,
^^^^ rxi 1-dX /»(1 — d2) :
. ri2-r2-gj2-yt (y^-2b)-a2 P^d^ - F^d -+- P^ Vî^— {g -4- df
^^^^ 2rxi ~ 1 — dX /i(l-d2)
§ 4. En partant des formules que nous venons d'obtenir, il est facile de montrer que la détermination, au moyen des quantités
fZ, m, r, h des valeurs de
qui donnent la solution du problème, dépend d'un système d'équations dont l'une est du second degré et les autres du premier degré.
A cet effet nous allons d'abord déterminer les quantités auxiliaires g, h, Po, P„ P„ P3, P„ X, ^a,
qui figurent dans nos formules.
En abordant ce problème, nous remarquons que les quantités g, h s'obtiennent immédiatement par les équations (5), (6), d'où il résulte
(1 — d^) m {md -t- 6)
^ r2 — (md-Hb)2
(1 — d^) mr
Substituant ces valeurs de g et h dans la formule (4), on en déduira aisément les expressions des quantités
au moyen de X et a.
En effet, d'après cette formule, la différence entre le polynôme
et l'expression
{P, -+- p,z) vj::^— (^ -,- X -*- fA y?^=l) yjl—gf—h'
ne doit renfermer que les puissances négatives de z, d'où il résulte que
sont les coefficients de z^, z^ z"^ dans les développement de cette expression suivant les puissances descendantes de z. En vertu de cela, il vient
P3 = Po-X-i-^(l-4-fx);
P — —Lp ^\a^^'^^^^^'^ -^^.
Quant aux quantités
on les déterminera, d'après (4), par la condition que le développement de l'expression
(^^x-4-(xy^^— 1) y{z—gf—}i'^(p,-i-p,z)Vz' — i,
ne contienne pas de termes en —, ^. Cela nous donne deux équations, d'où l'on tire ces valeurs pour P^, P^:
Pj = ay -*- ¥ -*- Ah'gl H- (4/iV -*- (h^—lf) [x.
En les portant dans les égalités précédentes, on trouve ces valeurs pour Pj, Pg, P,:
Pour déterminer les quantités auxiliaires
nous remarquons que les équations (7) et (9), (8) et (11), en les divisant l'une par l'autre, conduisent à ces deux équations
'^ — d hVl — d^
qui ne contiennent plus les quantités cherchées Â, a, r^, x^, y^, et qui, en portant la valeur ^- donnée par (5), se réduisent à
(\ — d)Vh^ — {g-^df = {P^d — P,)Vl—d^-
l^Vl—d' Vh' — {g-i-df = — P,-^P^d — P,d\
Il est facile de voir que ces équations, si l'on y substitue les valeurs de h, g, P^, P^, Pg, Pg, P^ que nous venons de trouver, se réduiront aux équations du premier degré en X et [x. En résolvant ces équations par rapport à X, (X et en portant les valeurs ainsi obtenues dans les expressions de Po, P,, Pg, Pg, P4, nous obtiendrons toutes les quantités auxiliaires, dont les quantités cherchées
dépendent d'après les équations (7), (8), (9), (10), (11), (12), (13).
C'est la détermination de ces inconnues que nous allons aborder maintenant.
§ 5. Pour déterminer l'angle A, nous remarquons que les équations (7), (8), si l'on divise l'une par l'autre, donneront
Ainsi la tangente de l'angle A se trouve déterminée complètement. Quant aux deux angles qui ont cette tangente et diffèrent l'un de l'autre de 180°, nous prendrons pour A celui qui est compris entre 0 et 180°, en choisissant conformément à cela le sens suivant lequel la ligne a = AA^ , à l'intérieur de l'angle A^AM, sera comptée positive.
Passant à la détermination des quantités a, ic,, y^, nous remarquons que les mêmes équations (7), (8), si on les élève au carré et ajoute, donnent
d)2H-(l— fZ2)[x2
(1 - dX)2
1—dl
d'où il vient
Des deux signes on devra prendre ici celui qui correspond à la supposition que nous avons faite à l'égard de l'angle A. Comme cet angle est supposé être compris entre 0 et 180°, son sinus sera positif, et cela, d'après . (7), ne peut avoir lieu que si le rapport
a un signe opposé à celui de
l — dl'
On déterminera ainsi la valeur absolue et le signe du rapport
Pour abréger, nous désignerons la valeur de ce rapport par f, de sorte que nous aurons
En posant encore, pour abréger,
r {Py - P^d) Vh^ - (ff H- d)» ^j
r [2Pg(Z — P3 (1 -t- d2) -+- 2F^d] Vh^ — {g -t- d)"^ ^
' 1 — dl ;i (1 — d'^) -^^2 J
nous présenterons les équations (10), (12) sous la forme
a(b — 2/1) sin A — ax^ cos A -y
<^ iVi — b) cos A — axi sin A — my^ -^
Delà, en posant d'après (14) a = fx^, nous obtenons ces deux équations
(15) f{h — y^) sin A — fx^ cos A = N^;
(16) A2/1 — ^) cos^— A^, sin ^ - ^ = N,.
qui serviront à déterminer x^ et y^ ,
En résolvant ces équations, on tire de la première d'entre elles
(17) y, = lj — cotmgA.x,—jr^;
et en portant cette valeur de 2/1 dans la deuxième équation, on obtient une équation du second degré que voici:
2 (Ni — m) cos A -+- No sin A (Jb sia A—Ny) m ^
Si l'on tire de cette équation la valeur de x^ et qu'on la porte dans les formules (14), (17), on obtiendra les valeurs de ir^, ?/,, qui représenteront la solution de notre problème, en considérant comme données les quantités r, m, h et d=: sin a^ .
A chacune des racines de cette équation il correspondra une solution à part, et si cette équation n'admet pas de racines réelles, on conclura que, pour les valeurs considérées de d, r, m, &, le problème est impossible.
§ 6. Sans nous arrêter aux calculs que demande, d'après ce que nous venons de montrer, la solution de notre problème, nous allons examiner la relation qui existe entre ses deux solutions lorsqu'elles sont possibles. Cette relation donne, comme nous verrons, des changements que l'on peut faire dans la composition des parallélogrammes les plus simples sans altérer le degré de précision, avec laquelle ils réalisent un mouvement rectiligne.
Soient x^, x^' les deux valeurs de x^ tirées de l'équation ci-dessus et
les valeurs correspondantes de y^^ a, les égalités
appartenant à la solution représentée (fig. 2) par le point A^ et le centre C7j et celles-ci
^i = ^î\ 2/1 = 2/1", « = fl'
Fig. 2.
à la solution représentée par le point A^ et le centre Cg. Cela posé, nous aurons
a=:AA^, a"=AA.2,
et les équations (14), (15), (16) seront vérifiées par ces deux systèmes de valeurs :
^i = <', 2/1 = 2/1", a = a\ ce qui suppose les égalités suivantes:
f{h — y/) sin A — fx^' cos A = N^ ; f{h — «//') sin A — fx^" cos A = N^ ; f(yî — ^) cos A — /j/ sin ^ — ^ = .Yj-,
B Tient de là
fi^i—^cosA—fx^'ànA—^ =f{yx — &) cos ^ — /j-j" sin ^ — î^.
et les dem dernières égalités se réduisent à
y/ sin J -^ r/ cos ^ = y," ûnA-^x^" cos A,
y^cx^A — J-/ sin J — ^ 7-- = y" cos J — r." sin ^ — " ^-.
ou bien, ce qui rerient au même, à
^V^! = cotant J; (y/— yj"»cosJ[-(.r; — a-;')sm^ = -^(|4— ^). Comme d'après la première de ces égalités on troure
^^ tang Aj
yi —Pi =— ^:
(m aura, en portant ces râleurs de x^ — x^". y/ — y^" dans la deuxième,
[>i'-»(l -+-^ tang^)co8 j] (|C— ^ = 0, et cette équation se décompose en deux, a savoir
/>/ — 111(1 -+-^tang^)cos^ = 0.
Or, en Tertu de (19), k première de ces équations suppose les égalités ^1= x^', yi''= y^'. Donc, les deux solutions étant distinctes, les valeurs de
a;/, «//, ic/', y(' doivent vérifier la deuxième équation, laquelle, en remplaçant, d'après (18), f par -^, se réduit à
a — m cos ^ — m ^, sin ^ := 0.
Il vient de là
et les mêmes raisonnements, en changeant seulement a;/, i//» o>' en a?/', y/', a et inversement, donneront
y/ g^^ — wt C03 ^
x^' TW sia J.
Nous remarquons maintenant que les rapports
^L, UiL^ yi - yi
Ou
a" — m cos A
a' — m cos J.
main A *
m sin J. '
représentent les tangentes des angles que font avec l'axe des x les droites (7(7^, CG^j Gfi^ menées par les centres
et que les rapports
oii, d'après nos notations,
représentent les cotangentes des angles AAJ\Ï et AA^M.
Donc les équations que nous avons trouvées expriment l'égalité entre les angles que font les droites GG^ , GG^ , Gfi^ avec l'axe des rr, ou bien avec la droite FG^ qui lui est parallèle, et les compléments des angles que les droites AM, A^M, AJK font avec la ligne AA^.
En vertu de cela, si l'on connaît un des deux points A^^ A^ et le centre G^ ou G^ qui lui correspond, on trouvera facilement un autre avec le centre correspondant; car, d'après ce que nous avons montré, par chacun des points A^^ A^, avec le centre correspondant, le triangle GGfi^ est complètement déterminé, et ce triangle donne l'inclinaison des lignes AJ^^ ^jM à la ligne AA^.
§ 7. Le passage que nous venons de signaler d'un des deux points ^j, ^3 à un autre, ces points décrivant, dans le mouvement considéré du triangle, des arcs infiniment petits, peu différents des arcs de cercle, peut être utile dans tous les cas, où l'on veut qu'un point du triangle décrive une courbe ayant avec un cercle plusieurs points communs, plus ou moins voisins l'un de l'autre.
En effet, il est facile de montrer que, les points A^, J^ et les centres Cl, G^ étant tels qu'on ait
G,SG = ^ — MAÂ^, Gfix = ~—MA^A,
Gfix = la différence
G,Gx = -^—MA,A,
AA^.AJJ^ — -4-^1 •^2^3»
pendant le mouvement considéré du triangle, ne changera point de valeur. Par suite, toutes les fois que l'une des deux distances Afi^, Afi^ reprend sa valeur primitive quelconque, l'autre sera dans le même cas.
Donc les points A^^ A^ reviendront simultanément sur des cercles tracés des centres C^, C'a par certains rayons.
Pour montrer que la différence
dans les suppositions admises, reste invariable, posons, comme auparavant,
MAA^ = A, et, en outre,
