e-^'^dx

lorsque le nombre n devient infini.

§ 2. Pour démontrer ce théorème sous la forme la plus générale, nous prendrons — oo et -*- oo pour les limites entre lesquelles sont comprises toutes les valeurs possibles des quantités

En désignant par

9ii^)àx, ^^ix)dx, <^,{x)dx,

les probabilités que les valeurs des quantités

î«j, Wg? Wg, . . . .

sont comprises entre les limites infiniment voisines

X, x-i-dx, nous remarquons:

1) que les fonctions

?i(«), ?2W, ÇaH

ne peuvent pas avoir des valeurs négatives;

2) que les intégrales

-+- oo -#-00 -+- oo

[ ?, (Wi) au, , J* 92 (Ma) du^ , [ 93 (W3) dii^ , ,

— 00 — 00 — co

qui représentent les probabilités que les quantités

auront des valeurs quelconques comprises entre les limites — 00 et -h 00, seront égales à l'unité;

3) que les intégrales

J Wj 9j (Wj) du, , J* W2 9.3 (u^) du^ , J ^<3 93 (11^) du, , ,

qui représentent les espérances mathématiques des quantités

Mj, Ma, M3, ,

d'après notre hypothèse, doivent être nulles;

4) qu'eu général, toutes les quantités aS^^ définies par l'égalité

-I- oo — oo

qui représentent les espérances mathématiques des difî'érentes puissances

des quantités

Wj , U^ , i6g , . . . .

seront, par hypothèse, comprises entre des limites finies. D'autre part, en désignant par

f{x) dx

la probabilité que la valeur de la fraction

sera comprise entre les limites infiniment voisines

X, x-i- dx,

nous remarquons que cette probabilité sera donnée par l'égalité

f{x)dx=j JîpiK) cpgW ?„(w„) du^du^ dii^,

dans laquelle l'intégration par rapport k u^, u^, . . . . u^ s'étend sur toutes les valeurs de ces quantités pour lesquelles la valeur de la fraction

ne sort pas des limites infiniment voisines x, x-h- dx.

En multipliant cette égalité membre à membre avec l'égalité

où s désigne une constante arbitraire quelconque, et en intégrant de x = — oo àa;=:oo, nous trouvons l'égalité

Je'yix)dx=]...Je ^"^

Comme dans le second membre l'intégration par rapport à

s'étend sur toutes les valeurs de ces quantités entre — oo et h- cxd, le second membre de cette égalité se réduit au produit des intégrales simples

-4- OO -t- CO ^-*' ^

r sui r SU2 r su^

nous aurons donc l'égalité (1)

| OO -H OO ^-t- CO -4- OO

r f !!*! r sMj r sUn

J e'"" f{x) dx =J e^ " 9i {u,) du. Je "^ cpa (u^) du^. , .} e "" cp„ (u^) du .