CX
la fonction f^{x) restant constamment positive, et comme on a
e ^ dx=\,
J V2-K V-nJ ' J T/27C
— oo — oo — oo
-♦-oo „ „ -*-oo
\-^xe ^ dx=0, \-^a^e ~^dx = \,
— oo — c»
-♦- oo -l-OO
— OO
nous en déduisons le théorème suivant:
Théorème.
Si la fonction f^ (x) reste constamment positive et si Von a
-+-00 -4-0O -t-OO -t-OO
^f,{x)dx = l, [xf,{x)dx = 0, {x'f,{x)dx = ^,. [x^f,{x)àx = Ç),
— oo — oo — oo — oo
-HOO -t-OO
— oo — c»
la valeur de V intégrale
\f,{x)dx
— oo
sera comprise entre les limites
qv
-4 f e~^^ dx — ^^'^("^'^-^m-i-sHg't^'-^ip^
. 3^ 3(m2—2OT-t- 3) Mg'f'-' -*-!)'.
2{m-3fVm — l
pour toutes les valeurs réelles de v.
SUR DEUX THÉORèMES RELATIFS AUX PROBABÏLÎTÊS.
(ÏKADUIX PAK I. LYO}yf.)
(Lu le 10 mars 1887.)
G déyoc/è mcopcMOCC^ omuocumcAtuo émpajimuocmcû.
{IIpHaoaKeHie k-b LV-My TOMy SaxiHCOKi. IlMnepaTopcKofi AKa^eMia HayKi., Jô 6, 1887 r. Acta mathematica. T. XIV, 1890—1891, p. 305—316.)
Sur deux théorèmes relatifs aux probabilités.
§ 1. Dans un Mémoire, sous le titre: Des valeurs moyennes *)j nous avons montré comment on obtient des inégalités, d'où l'on déduit facilement un théorème sur les probabilités qui contient comme cas particuliers le théorème de Bernoulli et la loi des grands nombres.
Ce théorème, nous l'avons formulé ainsi:
Si les espérances mathématiques des quantités
et de leurs carrés
ne dépassent pas une limite finie quelconque, la probabilité que la différence entre la moyenne arithmétique d'un nombre n de ces quantités et la moyenne arithmétique de leurs espérances mathématiques sera moindre qu'une quantité donnée, se réduit à Vunité, lorsque n devient infini.
Nous avons été conduit à ce résultat en cherchant à déterminer les valeurs limites d'une intégrale d'après les valeurs données des autres intégrales qui contiennent sous le signe J, outre les fonctions connues, une fonction inconnue, assujettie à la seule condition de ne pas devenir négative entre les limites d'intégration. En développant la méthode employée dans ces recherches nous arrivons, dans un cas particulier, au théorème suivant sur les intégrales **):
**) T. II, p. 443-478.
Si la fonction f{x) reste constamment positive et si Von a
\f{x)dx=l, \xf{x)dx=0, \x'f{x)dx=:^,. \x'f{x)dx=0,
— OO '^ oo
la valeur de V intégrale
\fix)dx
— OO
sera comprise entre les limites
qv
1 a:2 Ar
V iz
— OO
1 c— -^'(îa; 1
3 V^ (m2 - 2m h-S)'^ (gî v2 -*-l)3
Vtz
2 (m — 3)3 Vm - 1
— OO
■ toutes les valeurs réelles de v.
Nous allons montrer maintenant, comment ce théorème sur les intégrales conduit à un théorème sur les probabilités, à l'aide duquel la détermination des valeurs les plus sûres des inconnues, quand on a un grand nombre d'équations qui contiennent des erreurs accidentelles plus ou moins considérables, se ramène à la méthode des moindres carrés.
Ce théorème peut être ainsi formulé:
Si les espérances mathématiques des quantités
Wi, Ma, «<3,
sont toutes nulles et si les espérances mathématiques de toutes leurs puissances ne dépassent pas une limite finie quelconque, la probabilité que la somme
d''un nombre n de ces quantités^ divisée par la racine carrée de la double
somme des espérances mathématiques de leurs carrés, sera comprise entre deux limites quelconques t et t\ se réduit à
