m — l)n'^—^Yn

et cette expression, d'après le § 2, se réduit à 1 -+- -H— * -»-

où, par hypothèse, les quantités a. sont toutes iinies.

Eu développant le logarithme de cotte expression suivant les puissances de .<; et en s'arrètaut au terme de Tordre 5**""^ nous trouverons une expression de la forme

nVti"

dans

laquelle

les quantités

seront des fonctions

entières des quantités

ne contenant pas n ; elles seront donc aussi toutes finies.

On aura donc, avec un degré d'approximation jusqu'au terme de l'ordre s^"*"^ inclusivement,

log e o.(u.) dît. = ^ s^-i--^ s^ -+-... ,-i- * . ,- s

— oo

En y faisant i = 1, 2, . . . . , ^t et en posant

on trouve, avec le même degré d'approximation,

-*- oo -t- oo -+- co

logj e '*apj(Mj)^Wj-i-logJ e "92(^2)^^3"+- -*-logJe "9

— co — c» — c»

où les quantités M, comme les moyennes arithmétiques des quantités finies

-rr(2m— 1) pr(2m— 1) -rr (:

seront aussi toutes finies.

On aura donc, avec un degré d'approximation jusqu'au terme de l'ordre s""~\

I TT-i-* 7^S=-*- H —S

S2 . Jf(3)

§ 4. Quel que soit w, nous pourrons tirer de cette égalité les valeurs des 2m intégrales

-♦-00 -t-oo -t-oo

J fix) dx, [ X f{x) dx, J x^"^-' f{x) dx,

en arrêtant les développements des deux membres de cette égalité aux tenues de l'ordre s^"*~\

Dans le cas particulier w = oo , l'égalité (2) se réduit à

ÛO

puisque les quantités M^ comme on a vu, sont toutes finies.

En développant les deux membres de cette égalité suivant les puissances de s et en s'arrêtant aux termes de l'ordre s^^~^, on aura

-♦-co -4- oo 2m— i -♦-oo

f f(x)dx-^-{\ xf(x)dx -*-... .-H,,; J x"''-'f{x)dx =

— oo — OO — OO

et, en égalant les coefficients des mêmes puissances de s, nous trouvons

-♦- OO -+- OO -+- co -♦- oo

\f{x)dx=\, \xf{x)dx = Q, ^ x^fix)dx=^^j \x^f(x)dx = 0,

\ x''^-'f{x)dx = '-^-^-Jl^-^\ lx'"'-'fix)dx = 0.

— oo — oo

Comme la fonction f(x) qui figure sous le signe J, par sa nature même, ne peut pas avoir des valeurs négatives, nous concluons, d'après le théorème sur les intégrales cité au § 1, que la valeur de l'intégrale

\f{x)dx

est comprise entre les limites

dx-

3 y 3 (ffl2 2m-+-Sy (g2 v^ ^ i)3 2 (m — 3)3 Vm — l

— oo

D'où, en remarquant que la valeur de la fraction

3 VS (m^ — 2m-+- 3)'^ (q^ v^-+- 1)^ 2 (m — 3)3 Vm^^

tend vers zéro lorsque le nombre m augmente indéfiniment, nous tirons l'égalité

\f{x)dx^-^ e-^^dx,

En y faisant successivement

nous trouvons les égalités

I /•(«;) ()a; = :^ I e-^' dx, f{x) àx = ^\ e-^

'^dx,

— oo

qui par la soustraction nous donnent

f{x) dx =^^\ e—^- dx.

Le premier membre de cette égalité, d'après le § 2, représente la probabilité que la valeur de la fraction

sera comprise entre les limites

et par conséquent la valeur de la fraction

Vf'

V 2 (ai(2)-+-a2(2)-H....-H o„(2))

sera comprise entre les limites if et ^'; en vertu de quoi cette égalité qui a lieu pour w = oo montre que la probabilité que la valeur de la fraction

V2 (aj(2) -»- «2^2) ,. .... -H a„(2^)

sera comprise entre deux limites quelconques t et t', a pour limite, lorsque n augmente indéfiniment, la valeur de l'intégrale

t Dans le cas de n fini, la probabilité que la fraction

Ml -+-M2-+- -+-««

V 2 (ai(2) ■+- a^i^) ,....-+- a„(2))

sera comprise entre les limites t et ^', diff'érera plus ou moins de sa valeur

limite

t selon la valeur de n et des quantités

dx

qui figurent dans l'égalité (2) et dont les valeurs, comme on a vu, dépendent des valeurs des espérances mathématiques des différentes puissances des quantités

Wj, Wg, . . . . w„,

Sans nous arrêter ici à la détermination de la limite supérieure de cette différence pour n assez grand, nous remarquerons seulement que d'après les formules de notre Mémoire Sur le développement des fonctions à une seule variable *), cette probabilité pour n quelconque sera donnée par l'expression t'

*) T. I, cip. 501—508.

dans laquelle les quantités

sont les coefficients de

dans le développement de la fonction

e suivant les puissances de s; et les fonctions