DONNANT DES MOUVEMENTS SYMÉTRIQUES PAR RAPPORT A UN AXE

(TRADUIT PAK P. 0. SOKODP.)

(Lu le 15 novembre 1888.)

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(IlpHjioseHie k-b LX TOMy SanHCOKi» HMnepaTopcKofi AKa^eMin HayK-B, A's 1, 1889 r. )

Sur le système articulé le plus simple donnant

des mouvements symétriques par rapport à

un axe.

§ 1. Le plus simple moyen pour transformer un mouvement plan se présente en un système articulé formé d'une ligne, qui tourne autour d'un centre fixe, et d'une ligne réunie à la première par une articulation. Tous les points de la première ligne décrivent seulement des cercles concentriques, tandis que les points de l'autre ligne peuvent décrire des courbes diverses, et les trajectoires de leurs dififérents points se distinguent considérablement l'une de l'autre par leur forme. Par suite, quand un point de cette ligne décrit une courbe quelconque, on reçoit pour les autres points des mouvements sur des courbes différentes. Dans cette transformation du mouvement, les points de la seconde ligne, dont les distances à l'axe d'articulation avec la première ligne sont égales à la distance de cet axe au centre fixe de rotation, appellent la plus grande attention. Il est aisé de démontrer que, si un tel point décrit une courbe symétrique par rapport à un axe passant par le centre fixe de rotation, un autre point quelconque se meut sur une ligne ayant la même propriété. On voit de là que chaque ligne

brisée ABM (fig. 1), articulée avec la droite BC, qui tourne autour du centre fixe, fournit, lors de l'égalité

AB = BM=BC,

un moyen pour transformer le mouvement sur une courbe symétrique par rapport à un axe passant par le centre (7, en un mouvement sur une autre courbe ayant la même propriété. La forme et la position de cette dernière courbe changent avec le changement de l'angle ABM et de la position du centre G qui, selon ce que nous avons dit plus haut, doit rester sur l'axe de symétrie de la première courbe.

En transformant ainsi le mouvement d'un point J, qui se trouve à l'extrémité du rayon OA tournant autour du centre 0, nous recevons un sy-

Fig. 2.

stème articulé, dans lequel le point M décrit une ligne symétrique par rapport à un axe qui passe par le centre 0. Si la distance GO surpasse la longueur du rayon OA^ celui-ci est en état d'accomplir un tour complet, après quoi le point if retourne à sa place primitive, ayant décrit une courbe fermée symétrique par rapport à un axe passant par le centre G.

Une telle transformation du mouvement circulaire peut présenter des applications utiles, s'il est demandé de produire un mouvement, auquel s'approche suffisamment le mouvement du point M de notre système articulé quand on donne des dimensions convenables à ses parties et des positions convenables à ses centres fixes de rotation. Toute la difficulté réside dans la détermination des unes et des autres conformément à la forme du mouvement qu'il est proposé d'obtenir. Nous nous proposons de considérer ici les cas les plus simples et qui se rencontrent le plus souvent en pratique, à savoir: quand on a en vue d'obtenir un mouvement sur une courbe, dont une partie plus ou moins considérable ne diffère pas beaucoup d'un arc de cercle ou d'une ligne droite.

§ 2, Dans le système considéré les points A^ B décrivent des cercles

dont les centres sontO, (7; et comme les longueurs des lignes AB, BM et la

Fig. 3.

valeur de l'angle ABM restent constantes, on aura les égalités suivantes:

ABM=^AoB,M„ OA = OAo, GB=CB^.

Il résulte de la dernière de ces égalités que les six lignes suivantes sont égales:

^0^0, B,M,, B,C\ AB, BM, BG,

car, d'après ce que nous avons dit dans le § 1,

AoBo = BoM, = BoG, AB=BM=BG.

D'où il est clair que les points A^, G\ Mq se trouvent sur le cercle décrit du centre B^^ et les points A, C, 31 sur le cercle dont le centre est en B; ensuite, les angles AGM, ABM, AfiM^, AqB^Mq sont liés par les égalités

2AG3ï-i-ABM=2^,

qui donnent

2AGM^ ABM^ 2A^GM^ -+- A^B^M^.

En remarquant que

ABM=A,B,M^,

ACM = ACM, -4- M,GM, AfiM, = ACM, -+- A^GA,

nous obtenons

(1) M,,GM=AfiA.

En nous appuyant sur cette formule et posant OA^=:OA = r, OG=d, AB = BM= BG= AoBo = B^M,=:B,G= 1,

cherchons à présent la longueur du rayon vecteur GM et l'angle de son inclinaison à la ligne GM^, qui déterminent le lieu du point M pour un angle donné de l'inclinaison du rayon OA à la ligne des centres GOA^. Ces quantités s'expriment très simplement par l'angle ABG dont la valeur variable sera désignée par la lettre cp et à l'aide duquel il est facile de déterminer la position correspondante du rayon OA.

Dans le triangle isocèle GBM, où

GB=1, BM= 1, nous avons

(2) GM=2 sin^,

ce qui donne, d'après l'égalité

GBM = ABM— ABG= w — 9 la formule pour le rayon vecteur GM:

GM=2sm^^'

Passant à la détermination de l'angle de son inclinaison à la ligne GMq, nous trouvons d'après (1)

MGM,=:AGAo, mais du triangle ACO nous tirons

par suite, on obtient pour l'angle MGM^ la formule

cos MGM, = 22âôc

Eu remarquant que le triangle isocèle AGB, où AB=^1, BG=1, ABG=:<!^,

donne

et que d'après notre notation

AG=2 sin|-,

AO = r, GO = d, nous trouvons par cette formule

4 sin2 -l -t- d2 y2

cos MGM, = —

4 d sin -|-

Dans cette relation le signe de l'angle il/ (7M"o reste inconnu. Il est facile de le déterminer, en remarquant que, d'après (1), l'angle MGM^ est égal à l'angle AGA^; mais l'angle AGAq a une valeur positive ou négative selon que le point A est situé au dessus ou au dessous de la ligne des centres GOAq. Par conséquent, à la même valeur de l'angle cp correspondent deux positions tant du point A que du point M; dans l'une de ces positions le point A se trouve au dessus de la ligne des centres GOAq et le point M à gauche de la droite GM^, l'autre position du point A sera au dessous de la ligne GOAq et le point M se trouve à droite de la ligne GM^. Quant à la détermination de l'angle AOAq, étant donné l'angle op, on aura du triangle AOG

COSAUAo— 2A0.0C

En remarquant que

nous déduisons de la relation précédente

4 sia2 ± r2 — d2

cos AOAa

Comme, d'après ce qu'on a fait voir plus liaut, à la même valeur de l'angle cp correspondent deux positions tant du rayon OA que du rayon vecteur GM, qui diffèrent seulement par les signes des angles AOAo, MGMq, nous voyons que le point M décrira une ligne symmétrique par rapport à l'axe GMq, pendant que le 'rayon OA se tournera d'un même angle en haut

et eu bas de la ligne des centres COA^. Représentant par a la valeur limite de Faugle AOA(^ dans le mouvement considéré et par

les valeurs de l'angle ABC= 9, qui correspondent à

AOAo=0, AOA, = ±:oL,

nous voyons que, pendant que l'angle AOAq varie entre 0 et a ou — a, l'angle 9 passe de la valeur cp^ à o^.

En appliquant la formule que nous venons d'établir au cas spécial

AOAq= a, 0 = 9^,

nous trouvons l'équation suivante entie les valeurs limites des angles ACAq et ABC=o,:

4 sin2 ^ - d2 — r2

d'oii il suit

^0^^— 2dr

(iH-r)2--4sia2-|i

-"1 = ur-^'

§ 3. Passant à la détermination des conditions pour que la courbe décrite par le point M entre les limites indiquées s'écarte le moins d'un arc du cercle quelconque, nous observons que cet arc, de même que la trajectoire du point M, doit être symétrique par rapport à l'axe GMq, et pour cela son centre doit être situé sur cet axe. En supposant que ce centre se trouve eu 0^ (fig. 4), déduisons à présent la formule pour déterminer la distance du point 31 au centre 0^, distance, qui aurait une grandeur constante, si le point 31 décrivait exactement un arc du cercle autour du point 0^ .

Du triangle Ofi3î nous déduisons

MO,' = Ofi'-+- G31^ — 20 fi, CM . cos 3ICM,,

ce qui, après la substitution des valeurs pour le rayon vecteur CM et le cos 3ICM(^, donne:

MO,' = Ofi'' -f- 4 sin^ ^^ —4.0 fi sin -

En désignant par B le rayon du cercle, de l'arc duquel le point M

s'écarte le moins possible pendant le mouvement du système considéré, nous trouvons pour la différence MO^ — 7?^ la formule suivante:

4 8in2 -î- H- d2 — r2

MO,^—B'=^0,G^—R''-+- 4 sin^^— 40,(7 sin-^î^ -•

4 a sm -^

Occupons nous à présent de la détermination des conditions, pour que cette différence s'écarte le moins du zéro, quand l'angle cp, comme nous l'avons supposé plus haut, reste entre les limites

§ 4. En posant dans la formule déduite sin2-|- = ir, nous remarquons qu'elle reçoit la forme

(4) MO,'- B'=K[{p,x -4- 1) Y'^-^nx-^p,],

où

K, P,, p^, Ps

sont des constantes, dont les valeurs s'expriment par r, cl, w, Ofi, R

de la niauière suivante:

siu -^ (d2 r2) 0, C

-sin— OjC

sin — (d2 — r2)0iC

On voit de la formule (4) que pour la même valeur du coefficient K la différence