a^aj-t-Pj

OÙ les fe premiers quotients incomplets

sont les mêmes qu!on obtient en développant l'expression ^ H- — H- — H- -f- ^^~^

en fraction continue

le nombre des autres quotients incomplets et leurs valeurs restant arbitraires; d'après le § 2 il est cependant nécessaire que tous les quotients incomplets soient des fonctions linéaires en x, aux coefficients de x positifs.

Il en résulte que dans le cas considéré le nombre n ne peut pas être inférieur à Je.

Puisque d'après le § 3 la quantité Xq est la plus petite racine de l'équation

^Jx) = 0

et x^^ la plus grande racine, et puisque, comme nous l'avons démontré tout à l'heure, x^ diminue et x^^ augmente, lorsque n augmente, on obtient la solution des équations (4), où x^ a la plus grande valeur et x^^ a la plus petite valeur, en admettant que w a la plus petite valeur possible, qui est égale à k, comme nous l'avons vu. Cela posé, en désignant par Mq la plus petite racine de l'équation

et par M la plus grande racine, on a dans les solutions considérées des équations (4)

quel que soit le nombre n.

En passant au cas de l impair, on remarque, d'après le § 3, que pour l = 2k-t-l la fraction continue, servant à obtenir les solutions des équations (4), ne peut pas être arrêtée au quotient incomplet

Pour cette raison, d'après ce que nous avons dit sur la détermination des quantités

et sur la variation des racines limites de l'équation

quand n augmente, dans le cas considéré, oiî w > fc, auront lieu les inégalités ^

Il est facile de démontrer en outre que pour l = 2k-t-l les quantités Xq , x^^ satisfont à l'inégalité

Pour cela remarquons que d'après le § 5 pour w>A;-f-l ni l'équation ni requation

'^,ix)=:0

n'ont pas de racines hors des limites des racines de l'équation

Puisque la plus petite racine de cette équation est Xq et la plus grande a;„^, les équations

n'ont pas déracines ni entre x= — cx3, x=Xq^ ni entre x = x^^^ x = oo; par conséquent, la fraction

pour

a les mêmes signes que pour

x = — cx>, a; = 00.

Mais, en posant dans les formules (7), (8) m=k, a;= — 00, aJ=-f-cxD, on trouve, que cette fraction est négative pour x = — 00 et positive pour a? = 00 ; par conséquent, on a

En y portant les valeurs

déduites de l'équation (7) dans l'hypothèse m=Â;, a; = a;o, x = x^^^ on obtient les inégalités

d'où, en soustrayant la seconde inégalité de la première et divisant par x^^ — iCo, on obtient l'inégalité indiquée plus haut. Cette inégalité a lieu pour ^ = 2fe -H 1 , quel que soit le nombre n dans la solution considérée des équations (4).

§ 7. Nous avons considéré jusqu'à présent les sommes

en nous bornant au cas particulier, quand toutes les quantités

2/0, 2/1, 2/2, Vn-y

sont positives. En passant au cas plus général, quand parmi ces quantités se rencontrent des zéros, nous supposerons, qu'on obtient la série des quantités

2/0, 2/1) 2/a, Vn-i^

contenues dans les sommes, que nous avons considérées, en chassant de la série des carrés des quantités réelles

les termes égaux à zéro. En supposant que

et que , ,

est une série croissante de quantités réelles, où

on remarque que les sommes

se réduisent à

2 ^'yi^ 2 ^* ^»' 2 ^»-' ^«' • • • • 2 ^i~' y^'

et par conséquent les équations (4) donnent

(13) J;vv=Q.. 2^'''<"=^" 2^*'"'"=^» 2^/"'«/=c,,.

Il en résulte que ce que nous avons démontré dans les paragraphes antérieurs peut nous servir pour étudier les équations (13), dans lesquelles

%, Wi, «*2, W^j

sont des quantités réelles quelconques, égales ou non à zéro, et

est une série de quantités croissantes.

En désignant par h le nombre entier contenu dans y, par

les réduites de l'expression

développée en fraction continue

" a^ a; -f- Pft — •

par Mq la plus petite racine de l'équation

et par M la plus grande racine, nous avons démontré que les équations (4) ne peuvent être satisfaites que dans le cas, où

Puisque la somme

pour q < s^j contient le terme et la somme

.-HwVi

pour gj > Sq contient le terme

et ces termes, d'après (11), sont égaux à ^„i, 2/05 quantités que nous avons supposées supérieures à zéro, les sommes